高等数学-【3.1-4】微分中值定理与导数的应用

费马引理：

设函数 $f(x)$ 在点$x_0$的某邻域$U(x_0)$ 内有定义，并且在$x_0$ 处可导，如果对任意$x∈U(x_0)$ 有 $f(x)<f(x_0)$,
则有
$f'(x_0)=0$

罗尔定理：

如果 $f(x)$满足：
1. 在闭区间 $[a,b]$上连续
2. 在开区间 $(a,b)$上可导
3. 在端点处的函数值相等$f(a)=f(b)$
那么在$(a,b)$内至少有一点$\xi (a<\xi<b)$使得$f'(\xi)=0$

罗尔定理一个不好的地方就条件中端点处的函数值必须相等，拉格朗日中值定理就没有这个问题

拉格朗日中值定理

如果函数$f(x)$ 满足：
1. 在$[a,b]$上连续
2. 在$(a.b)$上可导
那么在$(a,b)$内至少有一点$\xi (a<\xi<b)$使得$f(a)-f(b)=f'(\xi)(a-b)$

柯西中值定理

设函数$f(x)，g(x)$满足：
1. 在$[a,b]$内连续
2. 在$(a,b)$内可导
3. 对任意$x∈(a,b) g'(x)≠0$
那么在(a,b)内必存在有一点$\xi =(a,b)$使得$[f(a)-f(b)]/[g(a)-g(b)]=f'(\xi)/g(\xi)$成立

洛必塔法则

洛必塔法则的前提：未定式

未定式：

未定式是指如果当$x→x_0$(或者$x→∞$)时，两个函数f(x)与g(x)都趋于零或者趋于无穷大，那么极限$lim [f(x)/g(x)]$ ($x→x_0$或者$x→∞$)可能存在，也可能不存在，通常把这种极限称为未定式

洛必塔法则：

1)
1. 当$x→x_0$时，函数$f(x)$及$F(x)$趋近于0；
2. 当$|x|$>N时，$f'(x)$与$F'(x)$均存在且$F'(x)≠0$
3. $\lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f'(x)}{F'(x)}$存在或为无穷大。
那么

$$\lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)}{F(x)}=\lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f'(x)}{F'(x)}$$
2)
1. 当 $x→ \infty$时，函数 $f(x)$及 $F(x)$趋近于0；
2. 当 $|x|$>N时， $f'(x)$与 $F'(x)$均存在且 $F'(x)≠0$
3. $\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{f'(x)}{F'(x)}$存在或为无穷大。
那么 $$\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{f(x)}{F(x)}=\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{f'(x)}{F'(x)}$$

泰勒公式

如何理解泰勒公式