高数-微分中值定理和导数应用

微分的定义

设函数y=f(x)在某区间内有定义，x及x+▵x在这区间内，如果函数的增量
▵y=f(x+▵x)-f(x)；可表示为：▵y=A▵x+o(▵x)；其中A是不依赖与▵x的常数，那么称函数y=f(x)在点x是可微的，而A▵x叫做函数y=f(x)在点x相应自变量增量▵x的微分，记作dy，即dy=A▵x;在▵x很小时，有近似等式：▵y≈dy,这里省略推到过程，通常将自变量x的增量▵x称为自变量的微分，记作▵x，即dx=▵x，于是函数y=f(x)的微分又可记作：dy=f‘(x)dx，另：可微是可导的充分必要条件，导数通常叫做”微商“

图例dy与▵y的区别，微分的几何意义：

例1：求函数y=x^2在x=1和x=3处的微分。
∵dy = f‘(x)dx = 2x * ▵x;
得：当x=1，dy=2▵x;
得：当x-3，dy=6▵x;

例2：求函数y=cosx的微分：
∵dy = f‘(x)dx = -sinx * ▵x;

微分的意义

1、在局部范围内用线性函数近似代替非线性函数，这在数学上称为非线性函数的局部线性化，这是微分学的基本思想方法之一。

函数的和、差、积、商的求微与求导相似：

1、d(u±v) = d(u)±d(v)；
2、d(uv) = d(u)v+d(v) * u；
3、d(u/v) = (d(u) * v-d(v) * u)/v^2；(v≠0)

复合函数的求微与求导相似：

设y=f(u)，u=g(x)都可导，则复合函数y=f[g(x)]的微分为：
dy=f’(u) * g’(x) dx
= f'(u) * d(u)

例1：y=sin(2x+1)，求dy:
得：dy=f’(u) * d(u) = cos(2x+1) * 2 * dx

例2：y=ln(1+e^x^² )，求dy:
得：dy=f’(u) * d(u) = (2xe^x^² )/(1+2xe^x^² )dx ;

函数的近似计算

重要推导：如果y=f(x)在点x0处的导数f’(x0)≠0,且|▵x|很小时，我们有：
▵y=f’(xo) * ▵x;
▵y=f(xo+▵x)-f(x0)=f’(xo) * ▵x;
f(xo+▵x)=f(x0)+f’(xo) * ▵x;
假设：x0+▵x=x;则：
f(x)=f(x0)+f'(xo) * (x-x0);

在x约等于0的时候，f(x)=f(0)+f'(0) * x，常用近似函数：
i)(1+x^a) ≈(1+0^a)+(1+a0^a-1)x= 1+ax(a∈R)
ii)sinx≈1
iii)tanx≈1
iv)e^x=1
(v)ln(1+x)≈1

举例：√1.05 =√ (1+x),其中x=0.05约等于0，
则√1.05 ≈ 1+x/2=1+0.05*2 =1.025；

相对误差与绝对误差的概念

如果某个量的精确值为A,它的近似值为a,那么：
绝对误差=|A-a|,相对误差=|A-a|/|a|
如果它的误差不会超过&e,那么：
&e叫做测量A的绝对误差限，而| &e|/|a|叫做A的相对误差限

拉格朗日(微分)中值定理

如果函数f(x)满足：
(1) 在闭区间[a,b]上连续；
(2) 在开区间(a,b)上可导；
那么，在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b),使等式:
f(b)-f(a) = f‘(ξ)(b-a)成立。

图例:

例：验证y=4x³-5x²+x-2在区间[0,1]的正确性
证:
(1) y=f(x)在闭区间[a,b]上连续；
(2)y=f(x) 在开区间(a,b)上可导；
(3) y’=12x²-10x+1;
根据微分中值定理：
f(1)-f(0) = f(ξ)’(1-0)
只需证f(ξ)’=f(1)-f(0)=-2+2=0=12ξ²-10ξ+1;ξ有值属于(0,1)即可。
当ξ=(5±√ 13)/12属于(0,1)

柯西中值定理

如果函数f(x)及F(x)满足：
(1) 在闭区间[a,b]上连续；
(2) 在开区间(a,b)上可导；
(3) 对任意x∈(a,b),F’(x)≠0；
那么，在(a,b)内至少有一点ξ使等式:
(f(b)-f(a))/(F(b)-F(a)) = f‘(ξ)(b-a)成立。

例：验证f(x)=sinx及F(x)=x+cosx在区间[0,π/2]上柯西中值定理的正确性。
证：(1)(2)同理
(3) f(ξ)/F(ξ)=sinξ/(ξ+cosξ)
f’(ξ)/F’(ξ)=cosξ/(1-sinξ)
假设：f(ξ)/F(ξ)=f’(ξ)/F’(ξ)
则：sin²x+cos²x=1=sinx-cosx * x,故当x=π/2时，成立。

洛必达法则

如果当x->a时，两个函数f(x)与F(x)都趋于0或无穷，且F(x)≠0，则：
lim_(x->a) f(x)/F(x)= f’(x)/F’(x)

例:求lim_(x->0) (x-sinx)/x³
解：当x->0时，x-sinx->0，x³->0.
根据洛必达法则:
lim_(x->0) (x-sinx)/x³=lim_(x->0) (1-cosx)/3x²=lim_(x->0)(1+sinx)/6=1/6

泰勒中值定理(重点)

如果函数f(x)在x0处具有n阶导，那么存在x0的一个领域，对于该领域内的任一x，有：
f(x)=f(xo)+f’(xo) * (x-x0)
+f’’(x0) * (x-xo)²/2!
+f’’’(x0) * (x-xo)³/2!
+fⁿ(x0) * (x-x0)ⁿ/n!+R(n)；
其中：R(n) = O((x-x0)ⁿ)
且：R(n) = fⁿ⁺¹(ξ) * (x-x0)ⁿ⁺¹/(n+1)! （ξ是x0与x之间的值）
一般用R(n)当做绝对误差值

例：按(x-4)的幂展开多项式f(x)=x⁴-5x³+x²-3x+4;
x0=4，则：
f(x0)=f(4) = -56;
f’(x0)=f’(4) = 4 * 4³- 15 * 4² + 24-3=21;
f’’(x0)=f’’(4) = 12 * 4²-30 * 4+2=74;
f’’’(x0)=f’’’(4) = 66;
f’’’’(x0)=f’’’’(4) = 24;
则：
f(x)≈f(x0)+f’(x0)(x-4)+f’’(x0)(x-4)²/2+f’’’(x0)(x-4)³/6 + 2+f’’’’(x0)(x-4)⁴/24
= -56+ 21(x-4)+37(x-4)²+11(x-4)³+(x-4)⁴*

函数的单调性

设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导
(1)如果在(a,b)内f’(x)≥0，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数y=f(x)在[a,b]上单调增加;
(2)如果在(a,b)内f‘(x)≤0，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数y=f(x)在[a,b]上单调减少;

曲线的凹凸性,定理1：

设函数y=f(x)在区间I上连续，如果对I上任意两点x1,x2恒有：
f((x1+x2)/2)<(f(x1)+f(x2))/2,那么称f(x)在I上的图形是凹的
如果恒有：f((x1+x2)/2)>(f(x1)+f(x2))/2,那么称f(x)在I上的图形是凸的

图示：

曲线的凹凸性,定理2：

设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数,那么：
若在(a,b)内f''(x)>0,则f(x)在a,b上的图形是凹的
若在(a,b)内f''(x)<0,则f(x)在a,b上的图形是凹的，凹凸性发生变化的点叫拐点，例如y=x^3，x=0
时为拐点

举例：求曲线y=2X³+3x²-12x+14的拐点
∵y’=6x²+6x-12=6(x-1)(x+2)
∴y‘’=12x+6
∴当x=1/2时，即为曲线的拐点

函数的极值和最大值最小值(重点)

定理1(必要条件)：设函数f(x)在x。处可导，且在x。处有极值，则f’(x)=0
定理2(充分条件)：
设函数f(x)在x。处连续，且在x。的去心领域U(x。,δ)内可导，若x∈(x。-δ,x。),f’(x)>0,x∈(x。,x。+δ),f’(x)<0,则f(x)在x。处取得最大值
设函数f(x)在x。处连续，且在x。的去心领域U(x。,δ)内可导，若x∈(x。-δ,x。),f’(x)<0,x∈(x。,x。+δ),f’(x)>0,则f(x)在x。处取得最小值
设函数f(x)在x。处连续，且在x。的去心领域U(x。,δ)内可导，f(x)保持不变,则f(x)在x。处无极值

函数的图形描述(重点)

步骤1：确定函数的特性并求出函数的一阶导，二阶导
步骤2：求出一阶导数和二阶导数的在定义域内的全部零点，并求出f(x)间断点和不可导的点
步骤3：确定这些部分区间的函数符号，并由此确定函数的升降、凹凸和拐点

求y=x³-x²-x+1的图形
步骤1：
y’=3x²-2x-1=(3x+1)(x-1);当x=1||x=-1/3时,y’=0
y’’=6x-2;当x=1/3时,y’’=0,
步骤2：
划分四个区域:（-∞,-1/3]，(-1/3,1/3)，[1/3,1)，[1,+∞)
步骤3：
当x∈(-∞,-1/3],y’>0,y’’<0,递增,凸函数,(-1/3,32/27)
当x∈(-1/3,1/3),y’<0,y’’<0,递减,凸函数,(1/3,16/27)
当x∈(1/3,1),y’<0,y’’>0,递减,凹函数,(1,0)
当x∈[1,+∞),y’>0,y’’>0,递增,凹函数
同时计算一下y=0时,x=1或-1,由此推导公式得:

曲率

一般用比值|▵a|/|▵s|,即单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均弯曲程度，把这比值叫做弧段的平均曲率,记做K,即K=|▵a/▵s|，当K_lim(▵s->∞)|▵a/▵s|=|da/ds|

曲率推导过程：
1、先计算▵a:
∵tan(a)=y/x，根据三角定理，tan(a)=y/x=▵y/▵x=y’;
y’’=(▵tan(a)/▵a) * (▵a/▵x)
=sec²(a) * ▵a/▵x
▵a=y’’ * ▵x/sec²(a)=y’’ * ▵x/(1+tan²(a))=y’’ * ▵x/(1+y’²)
2、再计算▵s(弧微分公式):
当MM’->0,根据三角定理,▵s=√(▵x²+▵y²)=√(▵x²+y’²/▵x²)=▵x√1+y’²
3、K=|da/ds|=|y’’ * /(1+y’²)|/√|1+y’²|=|y’’|/(1+y’²)^3/2

例：求y=ax²+bx+c,在哪个点曲率最大
∵y’=2ax+b,y’’=2a
∴K=|y’’|/(1+y’²)^3/2=2a/(1+(2ax+b)²)^3/2
∴2ax+b=0时，即x=-b/2a时,曲率最大