高等数学 · 第三章 导数和微分

第一节 导数的概念

一、引例

例一、切线问题(即几何意义)

$\tan \phi =\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$
$k=\tan \alpha =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

例二、瞬时变化速度问题

变速直线运动的瞬时速度问题。
$速度=\frac{路程}{时间}$
$[t_0,t_0+\Delta t]的平均速度：\frac{s(t_0+\Delta )-s(t_0)}{\Delta t}$
$t_0时刻的瞬时速度：v(t_0)=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{s(t_0+\Delta t)-s(t_0)}{\Delta t}$

*以上两个例子，大家均在数学和物理中接触过，不作详细介绍。

二、导数的定义

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某领域内有定义，且自变量 $x$ 在 $x_0$ 处取得增量 $\Delta x$ 时，函数相对应的增量为：$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$. 若当 $\Delta x\to 0$ 时，极限 $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ 存在，则称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，并称此极限为函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数，记为
$$f^{\prime }(x_0),y^{\prime }{|}_{x=x_0},\frac{dy}{dx}{|}_{x=x_0}或\frac{df(x)}{dx}{|}_{x=x_0}$$
$$即f^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$

左右导数表示为：
$f_{-}^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x},f_{+}^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

定理3.1 函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导的充分必要条件是 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的左、右导数存在且相等。

例题

1. 求 $f(x)=x^2$, 求 $f^{\prime }(0)$.
   解：$f^{\prime }(0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{(\Delta x{)}^2-0^2}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\Delta x=0$

三、导数的几何意义和物理意义

几何意义： 切线的斜率 $k=f^{\prime }(x_0)$
切线方程：$y=f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$
法线方程：$y-f(x_0)=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}(x-x_0),(f^{\prime }(x_0)$