微分中值定理与导数的应用

微分中值定理

罗尔定理

如果函数$f(x)$满足：
1. 在闭区间$[a,b]$上连续；
2. 在开区间$(a,b)$上可导；
3. 在区间端点处的函数值相等， 即$f(a)=f(b)$，
那么在$(a,b)$内至少有一点$\xi（a<\xi<b）$，使得$f'(\xi)=0$

拉格朗日中值定理

1. 拉格朗日中值定理：
   如果函数$f(x)$满足：
   
   1. 在闭区间$[a,b]$上连续；
   2. 在开区间$(a,b)$内可导，
      那么在$(a,b)$内至少有一点$\xi(a<\xi<b)$，使等式$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$成立，即$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi)$
2. 如果函数$f(x)$在区间$I$上的导数恒为零，那么$f(x)$在区间$I$上是一个常数

柯西中值定理

如果函数$f(x)$及$F(x)$满足：
1. 在闭区间$[a,b]$上连续；
2. 在开区间$(a,b)$内可导；
3. 对任一$x\in(a,b)，F'(x)\not=0$，
那么在$(a,b)$内至少有一点$\xi$，使等式$\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}$

洛必达法则

1. 未定式：如果对于极限$\lim_{x\rightarrow a(x\rightarrow \infty)}\frac{f(x)}{F(x)}$，$f(x)、F(x)$可能同时都趋于零或者都趋于无穷大，那么极限可能存在，也可能不存在。这样的极限叫做未定式。
2. 设：
   
   1. 当$x\rightarrow a$时，函数$f(x)$及$F(x)$都趋于零；
   2. 在点$a$的某去心邻域内，$f'(x)$及$F'(x)$都存在且$F(x)\not=0$
   3. $\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{F'(x)}$存在（或为无穷大）
      那么，