32、布奇自动机补构造中的最小奇数排名优化

布奇自动机补构造中的最小奇数排名优化

在布奇自动机（Büchi Automaton）的补构造领域，减少补自动机的状态数量是一个重要的研究方向。传统的基于排名的补构造方法在某些情况下可能会导致状态数量的指数级增长，因此需要寻找更优化的方法。

最小奇数排名的定义与性质

1. 最小奇数排名的定义 ：给定一个非确定性布奇自动机（NBW）A 和一个 ω - 字 α ∈ L(A)，图 Gα 的奇数排名 r 被称为最小的，如果对于 Gα 的每个奇数排名 r’，对于 Gα 中的所有顶点 (q, l)，都有 r’((q, l)) ≥ r((q, l))。
2. Kupferman 和 Vardi 排名的最小性 ：定理表明，对于每个 NBW A 和 ω - 字 α ∈ L(A)，Kupferman 和 Vardi 方法计算的排名 rKV A,α 是最小的。证明过程采用数学归纳法：
   • 基础情况 ：考虑 G1 = Gα，若 r((q1, l1)) = 1，由于 F - 顶点必须获得偶数排名且排名沿任何路径不能增加，所以 (q1, l1) 是 F - 自由的，根据定义 rKV(q1, l1) = 1，即 Vr,1 ⊆ VrKV,1。
   • 归纳假设 ：假设对于所有 1 ≤ j ≤ i，有 Vr,j ⊆ ∪j k = 1 VrKV,k。
   • 归纳步骤 ：对于 Gi + 1 中的顶点 (qi + 1, li + 1)，若 r((qi + 1,