33、布奇自动机补运算中的最小奇数排名及口吃不变正则属性的规范语言

布奇自动机补运算中的最小奇数排名及口吃不变正则属性的规范语言

布奇自动机补运算相关

1. 最小奇数排名的证明
   • 通过归纳法证明对于自动机 $A’$ 上的接受运行，会诱导出唯一的最小排名 $r_{KV}^{A,\alpha}$。在证明过程中，若存在 $j \in {1, \ldots, i}$ 使得 $V_{r,j} \neq V_{r_{KV},j}$，这会违背归纳假设。由此可推出 $r((q, l)) \leq i + 1$，又因为 $(q, l) \notin V_{r_{KV},j}$（$1 \leq j \leq i$）且 $V_{r,j} = V_{r_{KV},j}$（根据归纳假设），所以 $(q, l) \notin V_{r,j}$（$1 \leq j \leq i$），进而得出 $r((q, l)) = i + 1$，完成归纳。
   • 根据数学归纳法原理，对于所有 $i > 0$，有 $V_{r_{KV}}^{A,\alpha,i} = V_{r,i}$。
2. 补自动机的状态编码与规模
   • 状态编码 ：自动机 $A’$ 的状态集合为 ${2^Q \times 2^Q \times R}$，部分状态对应紧密级别排名，部分则不是。对于紧密级别排名的状态 $(S, O, f)$，将其编码为对 $(g, i)$，其中 $g : Q \to {1, \ldots, r} \cup {-1, -2}$ 且 $r = \max \text{ odd}(f)$。具体