凸优化第五章对偶 5.7例子

本文探讨了凸优化中通过引入新变量和等式约束来改变原问题,以得到更易于求解的对偶问题。举例说明了如何通过等价变换简化无约束问题及其对偶问题,以及如何处理隐式约束,展示了如何从原问题构造对偶问题,以优化求解过程。

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5.7例子

  1. 引入新的变量以及相应的等式约束
  2. 隐式约束

一个问题的等价问题会得到非常不一样的对偶问题。有些时候利用原问题的等价问题是非常有用的,因为原问题的对偶问题可能很难求解或者不是我们所感兴趣的,而其等价问题的对偶问题却容易求解。

引入新的变量以及相应的等式约束

例子1

考虑如下无约束问题:

minimize \,\,f_0(Ax+b)

此问题的对偶问题是他本身,没有什么意义。

现在引入新的变量y,y=Ax+b,此时问题:

minimize \,\, f_0(y) \\ subject \, \,to\,\, Ax+b-y=0

此时问题与原问题等价,此问题的对偶函数是:

g(\lambda )=\underset{x,y}{inf}L(x,y,\lambda)=\underset{x,y}{inf}f_0(y)+\lambda ^T(Ax+b-y)

通过对x极小化,g(\lambda)存在下界当且仅当\lambda^TA=0,对y极小化\underset{y}{inf}(f_0(y)-\lambda^Ty)=-\underset{y}{sup}(-f_0(y)+\lambda^Ty)=-f_0^*(y)

所以

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