凸优化第五章对偶 5.7例子

最新推荐文章于 2025-07-12 15:36:26 发布

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本文探讨了凸优化中通过引入新变量和等式约束来改变原问题，以得到更易于求解的对偶问题。举例说明了如何通过等价变换简化无约束问题及其对偶问题，以及如何处理隐式约束，展示了如何从原问题构造对偶问题，以优化求解过程。

5.7例子

引入新的变量以及相应的等式约束
隐式约束

一个问题的等价问题会得到非常不一样的对偶问题。有些时候利用原问题的等价问题是非常有用的，因为原问题的对偶问题可能很难求解或者不是我们所感兴趣的，而其等价问题的对偶问题却容易求解。

引入新的变量以及相应的等式约束

例子1

考虑如下无约束问题：

$minimize \,\,f_0(Ax+b)$

此问题的对偶问题是他本身，没有什么意义。

现在引入新的变量y，y=Ax+b，此时问题：

$minimize \,\, f_0(y) \\ subject \, \,to\,\, Ax+b-y=0$

此时问题与原问题等价，此问题的对偶函数是：

$g(\lambda )=\underset{x,y}{inf}L(x,y,\lambda)=\underset{x,y}{inf}f_0(y)+\lambda ^T(Ax+b-y)$

通过对x极小化， $g(\lambda)$ 存在下界当且仅当 $\lambda^TA=0$ ，对y极小化 $\underset{y}{inf}(f_0(y)-\lambda^Ty)=-\underset{y}{sup}(-f_0(y)+\lambda^Ty)=-f_0^*(y)$

所以

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