凸优化第五章对偶 5.9广义不等式

本文介绍了凸优化中的5.9节——广义不等式,重点讨论了Lagrange对偶在半定规划问题中的应用。内容包括Lagrange函数、对偶函数的定义,以及弱对偶性和强对偶性的条件。特别地,当原问题是凸的并满足Slater条件时,强对偶性成立。此外,还讲解了半定规划问题的Lagrange乘子和最优性条件,如互补松弛性和KKT条件。

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5.9广义不等式

  1. Lagrange对偶
  2. 最优性条件

Lagrange对偶

minimize \, \,f_0(x)\\ subject \, \, to \, \,\begin{matrix} f_i(x)\preceq _{K_i}0&i=1,2\cdots m \\ h_i(x)=0 &i=1,2 \cdots p \end{matrix}

其中K_i \in R^{K_i}是正常锥。

对于问题中的每个广义不等式f_i(x)\preceq _{K_i}0,引入Lagrange乘子向量,\lambda _i \in R^{K_i},并定义相关的Lagrange函数:

L(x,\lambda,v)=f_0(x)+\sum_{i=1}^m\lambda^T_if_i(x)+\sum _{i=1}^p v_ih_i(x)

对偶函数:

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