凸优化第五章对偶 5.9广义不等式

最新推荐文章于 2024-01-07 02:09:37 发布

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本文介绍了凸优化中的5.9节——广义不等式，重点讨论了Lagrange对偶在半定规划问题中的应用。内容包括Lagrange函数、对偶函数的定义，以及弱对偶性和强对偶性的条件。特别地，当原问题是凸的并满足Slater条件时，强对偶性成立。此外，还讲解了半定规划问题的Lagrange乘子和最优性条件，如互补松弛性和KKT条件。

5.9广义不等式

Lagrange对偶
最优性条件

Lagrange对偶

$minimize \, \,f_0(x)\\ subject \, \, to \, \,\begin{matrix} f_i(x)\preceq _{K_i}0&i=1,2\cdots m \\ h_i(x)=0 &i=1,2 \cdots p \end{matrix}$

其中 $K_i \in R^{K_i}$ 是正常锥。

对于问题中的每个广义不等式 $f_i(x)\preceq _{K_i}0$ ，引入Lagrange乘子向量， $\lambda _i \in R^{K_i}$ ，并定义相关的Lagrange函数：

$L(x,\lambda,v)=f_0(x)+\sum_{i=1}^m\lambda^T_if_i(x)+\sum _{i=1}^p v_ih_i(x)$

对偶函数：

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