凸优化第五章对偶 5.6扰动及灵敏度分析

最新推荐文章于 2025-05-13 09:37:05 发布

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本文介绍了凸优化中扰动问题和灵敏度分析的概念。当约束条件发生改变时，分析了如何影响原问题和对偶问题的最优值。通过全局不等式展示了强对偶性下扰动对最优解的影响，并提供了灵敏度解释，说明约束的微小变化如何显著改变最优值。最后，探讨了局部灵敏度分析，连接最优对偶变量与约束的梯度。

5.6扰动及灵敏度分析

扰动的问题
全局不等式
局部灵敏度分析

扰动的问题

原问题和对偶问题

$\begin{matrix} minimize \, \, f_0(x)\\subject \, \, to \, \, f_i(x)\leq 0,i=1,\cdots m\\h_i(x)=0,i=1,\cdots p \end{matrix}$ $&maximize \, \, g(\lambda,v) \\subject \, \, to \, \, \lambda \succeq 0$

扰动的问题：

$\begin{matrix} minimize \, \, f_0(x)\\subject \, \, to \, \, f_i(x)\leq u_i,i=1,\cdots m\\h_i(x)=l_i,i=1,\cdots p \end{matrix}$

$u_i> 0$ 表示放宽约束， $u_i<0$ 表示加紧约束。记 $P^*(u,l)$ 为扰动后问题的最优值。

扰动后的对偶问题：

$&maximize \, \, g(\lambda,v)-u ^T\lambda-l^Tv \\subject \, \, to \, \, \lambda \succeq 0$

全局不等式

假设强对偶性成立，且对偶问题可以达到最优值，且

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