31、公平高效覆盖的纳什福利保证

公平高效覆盖的纳什福利保证

在公平覆盖问题中，我们旨在找到一种解决方案，使得在满足一定公平性条件下，实现社会福利的最大化。本文将介绍一种用于最大化纳什社会福利的近似算法，并证明该问题的 APX 难度。

基本概念

• 覆盖值 ：对于一个解决方案 $F = (F_1, F_2, \ldots, F_T)$，代理 $i$ 的覆盖值 $v_i(F)$ 定义为 $v_i(F) := |{t \in [T] : i \in F_t}| + 1$。通过加 1 对覆盖值进行平滑处理，确保任何解决方案的纳什社会福利不为零。
• 纳什社会福利（NSW） ：解决方案 $F$ 的纳什社会福利定义为代理覆盖值的几何平均值，即 $NSW(F) := \left(\prod_{i=1}^{n} v_i(F)\right)^{\frac{1}{n}}$。我们用 $F^ = (F_1^ , F_2^ , \ldots, F_T^ )$ 表示在给定公平覆盖实例中最大化纳什社会福利的解决方案。
• γ - 近似保证 ：如果 $NSW(\tilde{F}) \geq \frac{1}{\gamma} NSW(F^*)$，则称解决方案 $\tilde{F}$ 为纳什社会福利最大化问题实现了 γ - 近似保证。

近似算法

我们开发了一种 $(18 + o(1))$ - 近似算法 Alg 来最大化公平覆盖实例中的纳什社会福利。算法步骤如下：
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