32、公平覆盖与锦标赛规则中的纳什福利与操纵性分析

公平覆盖与锦标赛规则中的纳什福利与操纵性分析

在众多领域中，公平性和效率是两个重要的考量因素。在覆盖问题以及锦标赛规则设计中，如何确保公平且高效的结果一直是研究的重点。本文将围绕公平覆盖中的纳什社会福利最大化问题，以及锦标赛规则中团队操纵性的相关研究展开探讨。

公平覆盖中的纳什社会福利

在公平覆盖问题里，研究人员致力于将覆盖问题从组合优化拓展到公平分配领域。通过构建覆盖框架，对纳什社会福利最大化进行算法和难度分析。

• 集合覆盖与社会福利计算 ：假设有集合 (L_c := [n] \setminus L) 中的代理被 (T = k = n / \tau) 个子集 (F_1, \ldots, F_T) 覆盖，且每个子集大小为 (\tau)。那么，(\sum_{j\in L_c} v_j(F)) 的计算如下：
  [
  \begin{align }
  \sum_{j\in L_c} v_j(F) &= \sum_{t = 1}^{n / \tau} |F_t| + |L_c|\
  &= \frac{n}{\tau} \cdot \tau + |L_c|\
  &= n + (n - \ell)
  \end{align }
  ]
  其中 (\ell = |L|)。由此可得出 (L_c) 中代理的平均社会福利为 (\frac{1}{|L_c|} \sum_{j\in L_c} v_j(F) = \frac{2n - \ell}{n - \ell})。结合 AM - GM 不等式，能对纳什社会福利进行界定。