22、社会选择中的投票与公平分配问题研究

社会选择中的投票与公平分配问题研究

1. 投票问题概述

表达选民部分偏好的自然方式是为每个选民关联一个对选项的偏序。选民的偏好必然是扩展该偏序的某种线性序。对于各种投票规则，此问题的计算复杂度已被确定。可能获胜者问题在一些规则下是NP完全问题，包括单轮可转移投票（STV）、计分规则（如Borda和k - 批准规则）、Copeland、极大极小、Bucklin和排序对规则等。必要获胜者问题除计分规则、极大极小和Bucklin外，对其他规则是coNP完全问题，而对于计分规则、极大极小和Bucklin，该问题可在多项式时间内解决。对于多数规则和反多数规则，这两个问题都能在多项式时间内解决。

2. 组合域中的投票

2.1 组合域投票示例

假设有三个代理人要确定晚餐菜单。开胃菜有沙拉和牡蛎，主菜有鳟鱼和小牛肉，酒有红酒和白酒。三个代理人的偏好如下：
- 代理人1：沙拉 - 鳟鱼 - 白酒
- 代理人2：沙拉 - 小牛肉 - 红酒
- 代理人3：牡蛎 - 小牛肉 - 白酒

若对每个问题使用多数规则，可能会选择沙拉 - 小牛肉 - 白酒，但这可能是最差的选择之一，因为代理人可能都希望沙拉和小牛肉搭配红酒。这是因为代理人对各问题的偏好并非独立，而逐个问题投票忽略了这种依赖性，可能导致悖论结果。直接对完整菜单投票也不太可行，因为可能会得到不同答案，只能随机选择。而且随着问题数量增加，让代理人对所有选项进行排序并传达排序信息会变得不可行。

2.2 解决方案

在这个例子中，若利用代理人偏好的依赖关系，先使用多数规则选择开胃菜和主菜，再确定酒的选择，可能会得到更好的结果。例如，先选沙