30、最佳公平分配与纳什福利保障

最佳公平分配与纳什福利保障

1. 引言

覆盖问题在理论计算机科学、组合数学和运筹学中具有基础性地位，存在多种变体，涵盖了众多资源分配应用场景，如电力分配、传感器分配、程序测试和工厂选址等。

覆盖问题的核心是，对于给定的阈值 (T \in Z^+) 和元素集合 ([n])，需找出满足特定组合约束的子集 (F_1, F_2, \ldots, F_T \subseteq [n])。问题的目标通常依据每个元素 (i \in [n]) 被选中子集包含的次数来确定。例如，在经典的最大覆盖问题中，子集需从给定的集合族中选取，目标是最大化至少被一个 (F_t) 包含的元素数量，即 (|\cup_t F_t|)。

我们聚焦于覆盖问题的一种特定情形，其中元素集合对应 (n) 个代理，每个代理 (i \in [n]) 的基数估值取决于其被选中子集包含的次数，也就是该代理在各个 (F_t) 中的覆盖次数。我们的总体目标是在满足组合约束的前提下，选择合适的子集，实现代理之间的公平且高效覆盖。

为了更直观地理解，以电力网格运营商为例。运营商需要在 (T) 个时间段内为 (n) 个消费者（代理）分配电力。在每个时间段 (t \in [T])，消费者的总需求可能超过可用供应，因此运营商必须选择一个子集 (F_t \subseteq [n]) 的消费者，使其电力需求得到满足。在这种负载削减场景下，实现公平和经济效率至关重要。覆盖框架为这种负载削减环境提供了抽象模型：每个 (F_t) 需满足背包约束，每个代理 (i \in [n]) 的基数偏好由包含该代理的子集数量（即其获得电力供应的时间段数量）来体现。

2. 组合约束

我们研究的覆盖框架中，对于每个