10、超椭圆曲线上配对的安全性与计算成本分析

超椭圆曲线上配对的安全性与计算成本分析

1. 曲线参数与结构

曲线 (C (1)) 定义在 (F_p) 上，其中 (p = 1 \pmod{8})。参数 (p) 和 (r)（(r) 是 (JacC(F_p)) 阶的一个素因子）由 (t \in Z) 参数化如下：
- (r(t) = \frac{\Phi_{16}(t)}{2} = \frac{t^8 + 1}{2})
- (p(t) = \frac{1}{8}(2t^{14} - 4t^{13} + 2t^{12} + t^{10} + 2t^{9} + t^{8} + 2t^{6} + 4t^{5} + 2t^{4} + t^{2} + 2t + 1))

此时，(\rho) 值 (\rho = \frac{g \log p}{\log r}) 约为 3.5，因为 (p \approx r^{\frac{14}{8}})。

也可以使用生成 II 型分圆族的方法，其中 ((k, h) = (24, 11))。这种情况下曲线 (C (1)) 同样定义在 (F_p) 上，(p = 1 \pmod{8})，(r(t)) 和 (p(t)) 如下：
- (r(t) = \Phi_{24}(t) = t^8 - t^4 + 1)
- (p(t) = \frac{1}{8}(2t^{12} + 4t^{11} + 3t^{10} - 2t^{9} - t^{8} + 4t^{7} - 3t^{6} + 2t^{5} + t^{4} - 4t^{3} + 3t^{2} - 2t + 1))

此时 (\rho \approx 3)。

2. NFS 算法复杂度分析 </