33、具有实模型的超椭圆曲线上的配对

具有实模型的超椭圆曲线上的配对

1 引言

以往对超椭圆曲线高效配对计算的研究主要集中在虚模型超椭圆曲线。随着实模型超椭圆曲线新的除子加法算法的发展，人们自然会问能否在这些曲线上高效实现配对。

有研究构造了亏格为 2 的曲线 C，定义在素数 $p \equiv 5 \mod 6$ 的域 $\mathbb{F} p$ 上，其雅可比簇 $\text{Jac}(C)$ 有 $p^2 - p + 1$ 个点，对于任意素数阶 $r > 3$ 的子群，嵌入度为 6，且该曲线是实模型，有 2 个无穷远点。另外，也有关于嵌入度为 3 的椭圆曲线的构造，定义在域 $\mathbb{F} {p^2}$ 上，同样有 $p^2 - p + 1$ 个 $\mathbb{F}_{p^2}$ - 有理点。

这些曲线的相似性使得它们成为比较椭圆曲线和超椭圆曲线配对实现的理想对象。下面将探索这些曲线上的优化技术，实现配对并比较性能。使用的优化技术包括 R - 率配对和分母消除技术。

高效实现实模型超椭圆曲线配对的关键在于有高效的除子加法算法，从而得到简单的 Miller 函数。新的加法算法不仅在加法和加倍算法中的操作次数比之前的少，而且 Miller 函数更简单，有助于提高配对计算效率。

2 曲线

2.1 超椭圆曲线的算术

设 $K$ 是一个特征 $\text{char}(K) \neq 2, 3$ 的域，$C$ 是 $K$ 上亏格为 2 的超椭圆曲线，由 $C: y^2 = F(x)$ 给出，其中 $F(x) \in K[x]$ 是无平方因子的 6 次多项式，称其为 $C$ 的实模型；若 $\tex