44、新型完美非线性多项式研究

新型完美非线性多项式研究

在密码学、序列和编码理论等领域，高度非线性映射有着重要的应用。本文将围绕完美非线性（PN）多项式展开，介绍其构造方法、等价性以及与已知PN映射的不等价性等内容。

1. 另一个PN多项式族

构造PN映射的一种方法是将已知的F₂ₙ上的APN函数族扩展为奇素数p的Fₚₙ上的PN函数族。下面按照F₂₂ₖ上APN多项式的模式构造一类PN函数。
- 定理2 ：设p为奇素数，s和k为正整数，n = 2k，且gcd(k + s, n) = gcd(k + s, k)。如果b∈Fₚₙ 不是平方元，c∈Fₚₙ \ Fₚₖ，且rᵢ∈Fₚₖ，0 ≤ i < k，则函数F(x) = Tr₂ₖₖ(bxᵖˢ⁺¹) + cxᵖᵏ⁺¹ + ∑ᵢ₌₁ᵏ⁻¹ rᵢxᵖᵏ⁺ⁱ⁺ᵖⁱ在Fₚₙ上是PN函数。
- 证明思路 ：
- 首先，对于任意a∈Fₚₙ ，考虑方程Δ(x) = F(x + a) - F(x) - F(a) = 0。
- 通过将x替换为ax，得到Δ₁(x)。
- 由Δ₁(x) = 0推出xᵖᵏ = -x。
- 再将xᵖᵏ = -x代入Δ₁(x) = 0，得到若b aᵖˢ⁺¹ ≠ bᵖᵏ aᵖˢ⁺ᵏ⁺ᵖᵏ，则xᵖˢ = -x。
- 假设b aᵖˢ⁺¹ = bᵖᵏ aᵖˢ⁺ᵏ⁺ᵖᵏ，会得出b是gcd(pˢ + 1, pᵏ + 1)和gcd(pˢ⁺ᵏ - 1, pᵏ + 1)的幂次。所以当b不是gcd(pˢ + 1, pᵏ + 1)的幂次或gcd(pˢ⁺ᵏ - 1, pᵏ + 1)的幂次时，对于任意非零a，不等式b aᵖˢ⁺¹ ≠ bᵖᵏ aᵖˢ⁺ᵏ⁺ᵖᵏ成立。
- 因为xᵖᵏ = -x且xᵖˢ = -x，可得xᵖᵏ = xᵖˢ，再取pᵏ次幂得到xᵖᵏ⁺ˢ = x。若gcd(k + s, 2k) = gcd(k + s, k)，则x∈Fₚgcd(k + s, k)且xᵖgcd(k + s, k) = x，但xᵖᵏ = -x，这意味着x = 0。

2. PN函数的等价性

证明了对于PN函数，CCZ - 等价性与EA - 等价性是一致的，这也意味着PN函数永远不是置换。
- 命题1 ：设F是PN函数，F′与F是CCZ - 等价的，则F和F′是EA - 等价的。
- 证明思路 ：
- 若F和F′是CCZ - 等价的，则存在F₂ₚₙ上的仿射置换L，使得L(G_F) = G_F′，其中G_F = {(x, F(x)) | x∈Fₚₙ}，G_F′ = {(x, F′(x)) | x∈Fₚₙ}。
- 设L(x, y) = (L₁(x, y), L₂(x, y))，其中L₁, L₂ : F₂ₚₙ → Fₚₙ是仿射的，且L₁(x, F(x))是置换。
- 由L₁(x, F(x))是置换推出L′(F(x + a) - F(x)) ≠ -L(a)，因为F是PN函数，所以F(x + a) - F(x)是置换，进而推出L是置换。
- 根据CCZ - 等价性的定义和上述推导，得到F′ = F₂ ∘ F₁⁻¹，其中F₁(x) = L₁(x, F(x)) = L(x) + b，F₂(x) = L₂(x, F(x)) = L′′(x) + L′′′(F(x)) + b′，且L′′′是置换，所以F和F′是EA - 等价的。
- 推论 ：
- 推论1 ：如果PN函数F与DO多项式F′是CCZ - 等价的，则F也是DO多项式。
- 推论2 ：完美非线性DO多项式F和F′是CCZ - 等价的当且仅当它们是线性等价的。
- 显然，两个DO平面函数的CCZ - 等价性意味着相应的交换半域的强同构性。同时，DO多项式不能与F₃ₙ上的PN函数x⁽³ᵗ⁺¹⁾/²（gcd(n, t) = 1，t为奇数）是CCZ - 等价的，因为x⁽³ᵗ⁺¹⁾/²不是DO多项式。

3. 引入的PN函数与已知PN映射的不等价性

定理1和定理2中的函数是在任意奇素数p的Fₚ₂ₖ上定义的。在证明与已知PN函数的CCZ - 不等价性时，主要关注某些特定情况的函数。
- 命题2 ：设p为奇素数，n为正整数。任何形式为F(x) = ∑₀≤k<j<n aₖⱼxᵖᵏ⁺ᵖʲ的函数在Fₚₙ上与x²是CCZ - 不等价的。
- 证明思路 ：假设F与x²是CCZ - 等价的，根据推论2，意味着存在线性置换L₁和L₂，使得(L₁(x))² + L₂(F(x)) = 0。通过展开等式，会得出L₁(x) = 0，这与L₁是置换矛盾，所以F与x²是CCZ - 不等价的。
- 推论3 ：某些函数（i ）和（ii ）与x²是CCZ - 不等价的。
- 命题3 ：设p为奇素数，n, n′和t为正整数，使得n′ < n且n/gcd(n, t)是奇数。设函数F : Fₚₙ → Fₚₙ满足F(x) = ∑ᵢ₌₀ⁿ′ Aᵢ(xᵖˢⁱ⁺¹)，其中0 < sᵢ < n且sᵢ ≠ sⱼ（对于所有i ≠ j，0 ≤ i, j ≤ n′），且函数Aᵢ（0 ≤ i ≤ n′）是线性的。如果对于所有0 ≤ i ≤ n′，t ≠ sᵢ且t ≠ n - sᵢ，则PN函数G(x) = xᵖᵗ⁺¹与F是CCZ - 不等价的。
- 证明思路 ：假设F和G是CCZ - 等价的，根据推论2，存在线性置换L₁和L₂，使得G(L₁(x)) + L₂(F(x)) = 0。通过展开等式并分析各项系数，会得出L₁ = 0，这与L₁是置换矛盾，所以F和xᵖᵗ⁺¹是CCZ - 不等价的。
- 推论4 ：当2k/gcd(2k, s)是偶数时，函数（i ）和（ii ）与xᵖᵗ⁺¹是CCZ - 不等价的。
- 命题4 ：由以下平面DO多项式定义的交换半域具有中间核的阶为p²和左核的阶为p：
- （1）p = 3且n = 6时的函数（ii ）；
- （2）p = 3且n = 8时的函数（i ）；
- （3）p = 5且n = 6时的函数（i ）。
- 目前正在进行工作以证明所有函数（i ）和（ii ）都定义了中间核阶为p²的交换半域。同时，某些情况下的PN函数与Albert的交换扭曲域不是同构的，并且由命题4中的函数定义的交换半域与所有Dickson半域不是同构的。
- 推论5 ：命题4中的函数（1） - （3）定义的交换半域与所有Dickson半域不是同构的。
- 推论6 ：p = 5且n = 6时的函数（i ）与任何已知PN函数是CCZ - 不等价的，并且定义的交换半域与已知的交换半域不是同构的。

4. 已知PN幂函数总结

函数	条件	证明文献
x²	无	平凡
x⁽ᵖᵏ⁺¹⁾/²	p = 3，gcd(n, k) = 1，k是奇数	[2], [6]
xᵖᵏ⁺¹	n/gcd(n, k)是奇数	[4], [2], [7]

综上所述，本文通过理论推导和证明，构造了新的PN函数族，研究了PN函数的等价性和不等价性，为密码学等领域的相关研究提供了新的思路和方法。这些新的PN函数在密码学中的应用，可能会带来更安全的加密算法和更高效的编码方案。未来的研究可以进一步探索这些函数的性质和应用，以及寻找更多新的PN函数。

新型完美非线性多项式研究

5. 一种确保完美非线性的新方法

在密码学、序列和编码理论中，高度非线性映射具有重要应用。对于从有限域 $GF(p^n)$ 到自身的映射 $f(x)$，可以通过微分均匀性来衡量其非线性程度。
- 微分均匀性定义 ：设 $N_f(a, b)$ 表示方程 $f(x + a) - f(x) = b$ 在 $GF(p^n)$ 中的解的个数，其中 $a, b \in GF(p^n)$ 且 $a \neq 0$。定义 $\Delta_f = \max{N_f(a, b) | a, b \in GF(p^n), a \neq 0}$，若 $\Delta_f = k$，则称 $f$ 是微分 $k$ - 均匀的。当 $\Delta_f = 1$ 时，称 $f$ 为完美非线性（PN）映射，也称为平面映射。
- 现有研究情况 ：在二进制情况（$p = 2$）下，$\Delta_f$ 最小为 2，此时函数为几乎完美非线性（APN）函数。对于奇素数 $p$，存在 $\Delta_f = 1$ 的 PN 函数。例如，研究过形如 $f(x) = ux^{p^k + 1} + x^2$ 在 $GF(p^{2k})$ 中的 PN 二项式，以及构造出新的 PN 函数族。
- 新方法提出 ：传统判断一个函数是否为 PN 函数的方法需要进行穷举搜索，因为需要确定对于所有 $a, b \in GF(p^n)$，方程 $f(x + a) - f(x) = b$ 在 $GF(p^n)$ 中的解的个数。为了改进这一方法，提出了一种确保完美非线性的新方法，该方法不仅减少了搜索空间的维度，还只需检查一个迹条件。具体考虑形如 $f(x) = x^2 + x^{p^k + p^{2k}}$ 在 $GF(p^{2k + 1})$ 上的二项式，其中 $k$ 是正整数，$p$ 是奇素数。

6. 相关概念和预备知识

在有限域和有限域上的多项式研究中，有一些基本概念和已知结果是后续研究的基础。
- 函数表示 ：对于从 $GF(p^n)$ 到自身的函数 $f$（$p$ 为奇素数），任何这样的函数都可以用次数至多为 $p^n - 1$ 的多项式来描述。在将所有多项式对 $x^{p^n} - x$ 取模后，多项式和与之关联的多项式函数可以不用区分。
- 完美非线性函数定义 ：函数 $f$ 被称为完美非线性或平面函数，如果对于所有非零的 $a \in GF(p^n)$，差函数 $f(x + a) - f(x)$ 是置换。
- 已知 PN 幂函数 ：
| 函数 | 条件 |
| ---- | ---- |
| $x^2$ | 无 |
| $x^{\frac{p^k + 1}{2}}$ | $p = 3$，$\gcd(n, k) = 1$，$k$ 是奇数 |
| $x^{p^k + 1}$ | $n / \gcd(n, k)$ 是奇数 |

此外，还有两种非幂映射的平面函数情况。

7. 新方法的优势分析

新提出的确保完美非线性的方法相较于传统方法具有明显优势，下面通过流程图和具体分析来展示。

graph TD
    A[传统方法] --> B[穷举搜索所有a,b组合]
    B --> C[计算f(x + a) - f(x) = b的解的个数]
    C --> D[判断是否为PN函数]
    E[新方法] --> F[检查迹条件]
    F --> G[判断是否为PN函数]
    A --> H(高复杂度)
    E --> I(低复杂度)

• 传统方法复杂度 ：传统方法需要对所有 $a, b \in GF(p^n)$ 进行穷举搜索，计算方程 $f(x + a) - f(x) = b$ 的解的个数。由于 $a$ 和 $b$ 的取值范围是 $GF(p^n)$，搜索空间的维度为 $p^{2n}$，这在 $n$ 较大时计算量非常大。
• 新方法复杂度 ：新方法通过检查一个迹条件来判断函数是否为 PN 函数，大大减少了搜索空间的维度，降低了计算复杂度。具体来说，对于形如 $f(x) = x^2 + x^{p^k + p^{2k}}$ 在 $GF(p^{2k + 1})$ 上的二项式，只需要对迹条件进行检查，避免了对所有 $a, b$ 组合的穷举。

8. 研究展望

本文围绕完美非线性多项式展开了多方面的研究，包括新 PN 函数族的构造、PN 函数的等价性和不等价性研究，以及提出确保完美非线性的新方法。这些研究成果为密码学等领域的相关研究提供了新的思路和方法。
- 新函数性质探索 ：未来可以进一步深入探索新构造的 PN 函数的性质，例如它们的代数结构、几何性质等。这些性质的研究有助于更好地理解这些函数在密码学中的应用潜力。
- 应用拓展 ：在密码学中，新的 PN 函数可能会带来更安全的加密算法和更高效的编码方案。可以研究如何将这些新函数应用到实际的加密系统中，提高系统的安全性和效率。
- 新函数寻找 ：继续寻找更多新的 PN 函数，扩大 PN 函数的家族。可以通过不同的构造方法和数学工具，探索新的函数形式，为相关领域的研究提供更多的选择。

综上所述，关于完美非线性多项式的研究具有重要的理论和实际意义，未来的研究有望在多个方向取得新的突破。