18、代数重建技术与投影重建算法解析

代数重建技术与投影重建算法解析

1. 投影值计算与校正

在某些成像系统中，首先需要计算给定的投影值 $\hat{\hat{p}}(l; w)$，其表达式如下：
$\hat{\hat{p}}(l; w)= h” {lw} - h {lw} \cdots$（此处省略复杂的原表达式，可参考原文）

计算得到投影值 $\hat{\hat{p}}(l; w)$ 后，需根据特定公式进行校正操作。校正公式为：
$\hat{p}(l, w) = \frac{1}{2a \cos e} \frac{\cos t}{\sqrt{\cos^2 \alpha_p + \cos^2 t \sin^2 \alpha_p}} \cdot \hat{\hat{p}}(l; w)$
其中，$\cos e$ 通过特定公式（如式 7.192）确定。

经过这样的计算和校正，得到的平行投影值 $\hat{p}(l, w)$（其中 $l = - (L - 1)/2, \cdots, 0, \cdots, (L - 1)/2$ 且 $w = 0, \cdots, W - 1$）可用于任何为平行投影系统设计的重建方法，例如卷积和反投影方法。

以下是投影值计算与校正的流程：

graph LR
    A[计算投影值 $\hat{\hat{p}}(l; w)$] --> B[确定 $\cos e$]
    B --> C[进行校正计算 $\hat{p}(l, w)$]
    C --> D[用于平行投影重建方法]

2. 代数重建技术基础

代数重建技术（ARTs）是第二大流行的重建方法家族，它属于利用有限级数展开的更广泛方法论。这类方法的特点是在重建过程开始时进行简化，假设重建图像由有限个元素组成。在概念阶段，将感兴趣区域划分为相同大小的块，每个块具有均匀的辐射衰减系数，且每个块的几何中心对应重建数字图像的一个像素。

图像中的每个块通过水平坐标 $i = 1, \cdots, I$ 和垂直坐标 $j = 1, \cdots, J$ 标识，块内的均匀衰减系数用 $l_{ij}$ 表示。

在代数算法中，假设使用平行束系统进行投影，每个投影值用离散形式的投影函数表示：
$\hat{p}(l, w) \approx p(l\Delta_s^p, w\Delta_{\alpha}^p)$
其中，$l$ 是矩阵中的探测器编号，$w$ 是投影编号，$\Delta_s^p$ 是屏幕上各个探测器之间的距离，$\Delta_{\alpha}^p$ 是每次投影后管 - 屏装置旋转的角度。

3. 代数问题的图像重建公式推导

从 Radon 变换的离散形式出发：
$\hat{p}(l, w) \approx R[l(x, y)]$

代数方法假设衰减系数分布 $l(x, y)$ 可近似表示为有限个基函数和常数系数的线性组合：
$l(x, y) \approx \hat{l}(i, j) = \sum_{i = 1}^{I} \sum_{j = 1}^{J} l_{ij} \varphi_{ij}(x, y)$

将其代入 Radon 变换表达式，利用 Radon 变换的线性性质，得到：
$\hat{p}(l, w) \approx \sum_{i = 1}^{I} \sum_{j = 1}^{J} l_{ij} R[\varphi_{ij}(x, y)]$

令 $v_{ij}(l, w) = R[\varphi_{ij}(x, y)]$，可将投影结果表示为：
$\hat{p}(l, w) \approx \sum_{i = 1}^{I} \sum_{j = 1}^{J} l_{ij} v_{ij}(l, w)$

$v_{ij}(l, w)$ 可理解为具有参数 $(i, j)$ 的给定图像块对在屏幕上测量的投影值 $(l, w)$ 形成的贡献。其值通过以下方式确定和归一化：
$v_{ij}(l, w) = \frac{\text{number of sub - blocks} {ij}(l, w)}{\sum {B_l} \text{number of sub - blocks}}$

当知道所有投影角度 $w = 1, \cdots, W - 1$ 和所有屏幕坐标 $l = -L/2, \cdots, 0, \cdots, L/2 - 1$ 的 $v_{ij}(l, w)$ 值时，可将问题转化为线性方程组：
$\mathbf{p} = \mathbf{v}\mathbf{l}$
其中，$\mathbf{p}$ 是维度为 $L \times W$ 的投影向量，$\mathbf{v}$ 是维度为 $L \times W \times I \times J$ 的矩阵，$\mathbf{l}$ 是维度为 $I \times J$ 的向量。

代数方法的优缺点如下表所示：
| 优点 | 缺点 |
| — | — |
| 独立于投影系统的实际几何形状，只需重新计算矩阵 $\mathbf{v}$ 即可用于不同投影系统 | 计算复杂度高，矩阵 $\mathbf{v}$ 规模巨大，但大部分值为 0 可降低复杂度 |

4. 基本 ART 算法

基本 ART 算法是许多迭代求解方程组方法的起点。考虑方程组：
$\hat{p}_k = \mathbf{v}_k^T \mathbf{l}$
其中，$\mathbf{v}_k^T$ 是矩阵 $\mathbf{v}$ 的第 $k$ 行，$\hat{p}_k$ 是矩阵 $\mathbf{p}$ 的第 $k$ 个元素，$k = 1, \cdots, L \times W$。

假设块的数量为 2（即 $I \times J = 2$），方程可写为：
$v_{k1}l_1 + v_{k2}l_2 = \hat{p}_k, k = 1, \cdots, L \times W$

每个方程代表平面 $(l_1, l_2)$ 上的一条直线，向量 $\mathbf{v} k$ 垂直于该直线。证明如下：
设两个向量 $\mathbf{l}_1 = (l_1^1, l_1^2)$ 和 $\mathbf{l}_2 = (l_2^1, l_2^2)$ 满足 $\hat{p}_k = \mathbf{v}_k^T \mathbf{l}_1$ 和 $\hat{p}_k = \mathbf{v}_k^T \mathbf{l}_2$，则：
$\mathbf{l} {1 - 2} = \mathbf{l} 1 - \mathbf{l}_2$
$\mathbf{v}_k^T \mathbf{l} {1 - 2} = \mathbf{v} k^T (\mathbf{l}_1 - \mathbf{l}_2) = \mathbf{v}_k^T \mathbf{l}_1 - \mathbf{v}_k^T \mathbf{l}_2 = \hat{p}_k - \hat{p}_k = 0$
所以向量 $\mathbf{l} {1 - 2}$（平行于直线）垂直于向量 $\mathbf{v}_k$。

将矩阵 $\mathbf{v}$ 的行进行归一化处理，即每个向量的分量除以向量的长度 $|\mathbf{v} k|$，方程可表示为：
$\frac{\hat{p}_k}{|\mathbf{v}_k|} = \frac{v {k1}}{|\mathbf{v} k|} l_1 + \frac{v {k2}}{|\mathbf{v}_k|} l_2 = |\mathbf{l}| \cdot \cos \langle \mathbf{v}_k, \mathbf{l} \rangle$
$\frac{\hat{p}_k}{|\mathbf{v}_k|}$ 表示直线到坐标系原点 $(l_1, l_2)$ 的最短距离。

为求解方程组，从平面上的任意点 $\mathbf{l}^0 = (l_0^1, l_0^2)$ 开始，将其投影到直线上。以第一个直线（$k = 1$）为例，向量 $\mathbf{l}^0$ 到直线的投影过程如下：
向量 $\mathbf{l}^0$ 在向量 $\mathbf{v}_1$ 所在直线上的投影长度为 $\frac{\mathbf{v}_1^T}{|\mathbf{v}_1|} \mathbf{l}^0$，向量 $\mathbf{l}^0$ 到直线的最小距离为 $\frac{\mathbf{v}_1^T}{|\mathbf{v}_1|} \mathbf{l}^0 - \frac{\hat{p}_1}{|\mathbf{v}_1|}$。通过乘以向量 $\frac{\mathbf{v}_1^T}{|\mathbf{v}_1|}$ 确定方向，得到投影向量 $\left(\frac{\mathbf{v}_1^T}{|\mathbf{v}_1|} \mathbf{l}^0 - \frac{\hat{p}_1}{|\mathbf{v}_1|}\right) \frac{\mathbf{v}_1^T}{|\mathbf{v}_1|}$。新的向量 $\mathbf{\hat{l}}_1$ 为：
$\mathbf{\hat{l}}_1 = \mathbf{l}^0 - \left(\frac{\mathbf{v}_1^T}{|\mathbf{v}_1|} \mathbf{l}^0 - \frac{\hat{p}_1}{|\mathbf{v}_1|}\right) \frac{\mathbf{v}_1^T}{|\mathbf{v}_1|} = \mathbf{l}^0 - \frac{\mathbf{v}_1^T \mathbf{l}^0 - \hat{p}_1}{|\mathbf{v}_1|^2} \mathbf{v}_1^T$

后续迭代过程中，将向量 $\mathbf{l} t$ 投影到由向量 $\mathbf{v}_k$ 定义的连续超平面上，迭代公式为：
$\mathbf{\hat{l}} {t + 1} = \mathbf{l}_t - \frac{\mathbf{v}_k^T \mathbf{l}_t - \hat{p}_k}{|\mathbf{v}_k|^2} \mathbf{v}_k^T$
其中，$t = 0, 1, \cdots$，且 $\hat{p}_t = \hat{p}_k$，$\mathbf{v}_t = \mathbf{v}_k$ 当 $k = t \mod (I \times J) + 1$。

每次迭代得到的向量 $\mathbf{\hat{l}}_{t + 1}$ 的元素根据以下条件进行调整：
| ART 算法约定 | 关系类型 |
| — | — |
| 未调整算法 | $\mathbf{l}_t = \text{condition}(\mathbf{\hat{l}}_t) = \mathbf{\hat{l}}_t$ |
| 部分调整算法 | $\mathbf{l}_t = \text{condition}(\mathbf{\hat{l}}_t) = \begin{cases} 0, & \text{for } \mathbf{\hat{l}}_t < 0 \ \mathbf{\hat{l}}_t, & \text{for } \mathbf{\hat{l}}_t \geq 0 \end{cases}$ |
| 完全调整算法 | $\mathbf{l}_t = \text{condition}(\mathbf{\hat{l}}_t) = \begin{cases} 0, & \text{for } \mathbf{\hat{l}}_t < 0 \ \mathbf{\hat{l}}_t, & \text{for } 0 \leq \mathbf{\hat{l}}_t \leq 1 \ 1, & \text{for } \mathbf{\hat{l}}_t > 1 \end{cases}$ |

经过调整后，向量收敛到最优解。为提高方法的准确性，算法沿着矩阵 $\mathbf{v}$ 的连续行循环迭代。

基本 ART 算法的迭代流程如下：

graph LR
    A[初始化向量 $\mathbf{l}^0$] --> B[选择直线 $k = 1$]
    B --> C[计算投影和调整得到 $\mathbf{\hat{l}}_1$]
    C --> D[条件调整得到 $\mathbf{l}_1$]
    D --> E{是否完成所有行迭代}
    E -- 否 --> F[选择下一行 $k$]
    F --> C
    E -- 是 --> G{是否达到精度要求}
    G -- 否 --> B
    G -- 是 --> H[输出最终向量 $\mathbf{l}$]

通过以上步骤，我们详细介绍了投影值计算、代数重建技术基础以及基本 ART 算法的原理和实现过程。这些方法在图像重建领域具有重要的应用价值。

代数重建技术与投影重建算法解析

5. 基本 ART 算法的几何解释与特性

基本 ART 算法在几何上有着直观的解释。在平面 $(l_1, l_2)$ 上，每个方程 $v_{k1}l_1 + v_{k2}l_2 = \hat{p}_k$ 代表一条直线。这些直线的集合反映了方程组的约束条件，而算法的迭代过程就是在不断地寻找满足这些约束条件的解。

当矩阵 $\mathbf{v}$ 的行被归一化后，$\frac{\hat{p}_k}{|\mathbf{v}_k|}$ 表示直线到原点的最短距离。这一特性使得我们可以更方便地进行投影操作，因为投影的长度和距离都有了明确的几何意义。

在迭代过程中，每次将向量 $\mathbf{l}_t$ 投影到由向量 $\mathbf{v}_k$ 定义的超平面上，实际上是在逐步逼近方程组的解。随着迭代次数的增加，向量 $\mathbf{l}_t$ 会越来越接近最优解。

然而，基本 ART 算法也存在一些特性需要注意。例如，在某些情况下，直线之间可能几乎垂直，这会导致迭代过程的收敛速度变慢。另外，由于每次迭代只满足一个方程，可能需要多次循环才能使所有方程都得到较好的满足。

6. 代数重建算法的拓展与优化

虽然基本 ART 算法为图像重建提供了一种有效的方法，但在实际应用中，可能需要对其进行拓展和优化。以下是一些常见的拓展和优化思路：

• 多步迭代策略 ：可以在每次迭代中考虑多个方程，而不是只考虑一个方程。这样可以加快收敛速度，特别是在方程组规模较大的情况下。
• 自适应步长调整 ：在迭代过程中，根据向量 $\mathbf{l}_t$ 的变化情况自适应地调整步长。例如，当向量接近最优解时，减小步长以提高精度；当向量远离最优解时，增大步长以加快收敛速度。
• 并行计算 ：利用多核处理器或 GPU 进行并行计算，加速矩阵运算和迭代过程。特别是对于大规模的矩阵 $\mathbf{v}$，并行计算可以显著提高计算效率。

7. 代数重建技术的应用场景

代数重建技术在许多领域都有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：

应用场景	描述
医学成像	在 CT 扫描中，通过代数重建技术可以从投影数据中重建出人体内部的图像。由于代数方法独立于投影系统的几何形状，因此可以适应不同的扫描设备和扫描方式。
工业检测	用于检测工业产品内部的缺陷，如金属材料中的裂纹、孔洞等。通过对产品进行投影扫描，并利用代数重建算法重建出内部图像，可以准确地检测出缺陷的位置和大小。
无损检测	在文物保护、建筑结构检测等领域，代数重建技术可以在不破坏物体的前提下，获取物体内部的结构信息。

8. 总结与展望

代数重建技术作为一种重要的图像重建方法，具有独立于投影系统几何形状的优点，但也存在计算复杂度高的缺点。基本 ART 算法通过迭代的方式求解线性方程组，为图像重建提供了一种有效的途径。

在实际应用中，可以根据具体的需求对基本 ART 算法进行拓展和优化，以提高算法的性能和精度。同时，代数重建技术在医学成像、工业检测等领域有着广泛的应用前景，随着计算机技术的不断发展，其应用范围还将不断扩大。

未来，我们可以期待代数重建技术在以下方面取得进一步的发展：

• 算法效率的提升 ：通过更高效的算法设计和并行计算技术，进一步降低计算复杂度，提高重建速度。
• 与其他技术的融合 ：将代数重建技术与深度学习、机器学习等技术相结合，提高图像重建的质量和准确性。
• 新应用领域的开拓 ：探索代数重建技术在更多领域的应用，如环境监测、生物科学等。

总之，代数重建技术在图像重建领域具有重要的地位和广阔的发展前景，值得我们进一步深入研究和探索。

graph LR
    A[代数重建技术] --> B[基本 ART 算法]
    A --> C[拓展与优化]
    B --> D[几何解释与特性]
    C --> E[多步迭代策略]
    C --> F[自适应步长调整]
    C --> G[并行计算]
    A --> H[应用场景]
    H --> I[医学成像]
    H --> J[工业检测]
    H --> K[无损检测]
    A --> L[未来发展]
    L --> M[算法效率提升]
    L --> N[与其他技术融合]
    L --> O[新应用领域开拓]

通过以上内容，我们对代数重建技术的各个方面进行了全面的介绍，包括基本原理、算法实现、应用场景以及未来发展方向。希望这些内容能够帮助读者更好地理解和应用代数重建技术。