13、随机投影方法：原理、应用与优势

随机投影方法：原理、应用与优势

在数据处理和分析领域，高维数据的处理一直是一个具有挑战性的问题。维度灾难使得许多传统的数据分析方法在高维数据上的表现不尽如人意，因此，降维技术应运而生。本文将介绍几种常见的降维技术，重点探讨随机投影方法的原理、应用及其优势。

常见降维技术概述

• 主成分分析（PCA）的局限性 ：在确定投影子空间的维度时，并没有一个唯一的规则来决定要包含在降维矩阵中的成分数量 (k)。通常采用经验法则，即不断添加成分，直到解释了原始方差的一个令人满意的百分比。然而，当原始数据位于非线性流形上时，PCA 可能并不有效，因为它只能投影到线性子空间。
• 因子分析 ：这是一种线性方法，其中所有变量都表示为一些不可观测的公共因子的线性函数。考虑矩阵 (X)，其列代表变量，行代表每个统计单元对每个变量的响应。因子模型可以表示为 (X’ = \Upsilon F + E)，其中 (\Upsilon) 是一个 (d \times k) 的常数矩阵，(F) 是一个 (k \times n) 的矩阵，其列包含特定单元的 (k) 维随机因子向量 (f_j)，(E) 是一个 (d \times n) 的矩阵，其列包含特定单元的 (d) 维特异误差向量 (e_j)。因子模型有以下假设：
  1. 所有因子都是标准化的，即它们的期望值为零（(E(f_j) = 0)），并且它们的方差 - 协方差矩阵等于单位矩阵（(E(f_jf_j’) = I)）。
  2. 所有特定因子的期望值为零（(E(e_i) = 0)）。
  3. 特异项相互独立（(Cov(e