21、正则文法与有限状态机的转换

正则文法与有限状态机的转换

1. 引言

在形式语言与自动机理论中，正则文法和有限状态机是两个重要的概念。正则文法可以用来生成正则语言，而有限状态机则可以用来识别正则语言。本文将详细介绍如何将正则文法转换为非确定有限自动机（NDFA），并证明这种转换的正确性。

2. 从正则文法构建NDFA的理论基础

设正则文法 $G = (\text{make - rg } N \Sigma P S)$，我们的目标是将其转换为一个能判定 $L(G)$ 的有限状态机 $M$。从确定有限自动机（DFA）到正则文法的构造过程给了我们一些启示，即正则文法可以模拟DFA的计算过程，那么反过来，有限状态机也有可能模拟正则文法的推导过程。

• 简单产生式规则 ：简单产生式规则定义为 $I \to i$，其中 $i \in {\epsilon} \cup \Sigma$ 且 $I \in N$。为了模拟这种规则，我们引入一个唯一的终态 $Z$。简单产生式规则的转换形式为 $I \to i \Rightarrow (I \ i \ Z)$。
• 复合产生式规则 ：复合产生式规则定义为 $I \to iJ$，其中 $i \in \Sigma$ 且 $I, J \in N$。其转换为转移规则的形式为 $I \to iJ \Rightarrow (I \ i \ J)$。

3. 示例：将正则文法转换为NDFA

考虑正则文法 $L = a^ \cup b^ $，其定义如下：