5、数学基础与证明方法详解

数学基础与证明方法详解

1. 关系与函数

关系（Relations）将定义域（输入集）中的元素与值域（输出集）中的元素关联起来。例如，二元关系运算符“大于或等于（≥）”，其定义域是实数对（或元组），值域是布尔值（即真和假）。关系定义了一种语言（或集合），该语言的成员是相互关联的元素。“大于或等于（≥）”所定义的语言可表示为：
[GEQ = {(x, y) | x, y \in R \land x \geq y}]
这表明 (x) 和 (y) 是实数，且 (x) 大于或等于 (y)。例如，((31, 7)) 和 ((8, 4)) 是 (GEQ) 的成员，而 ((21, 55)) 和 ((-8, 40)) 不是。如果 ((a, b)) 是某个关系的成员，我们称 (a) 和 (b) 是相关的，记为 (aRb)。

函数（Functions）是一种特殊的关系，它是一种二元关系，将定义域中的每个成员与值域中的唯一成员关联起来。更正式地说，从集合 (A) 到集合 (B) 的函数 (f)，定义了一个有序对 ((a, b)) 的集合，使得对于 (A) 中的每个元素，都恰好有一个有序对与之对应。例如：
- (NAMES = {w | w) 是名字 (})
- (PASSP = {p | p) 是持有单一护照的人 (})

将持有单一护照的人映射到名字的关系 (R1) 定义为：
[R1 = {(p, n) | p \in PASSP \land n \in NAMES}]
(R1) 是一个函数，因为每个持有单一护照的人都有一个名字。而关系 (R2) 定义为：
[R2 = {(n, p) | p \in PASSP \land n \i