10、复杂度理论基础结果概述

复杂度理论基础结果概述

1. 复杂度理论研究起点

复杂度理论的研究从探究复杂度类的基本性质开始。这些性质适用于所有复杂度类，表明复杂度类的定义在定义它们的图灵机的时间或空间界限发生小变化时保持不变。我们将证明时间和空间有界复杂度类之间的一般关系，包括一些类之间的包含关系和其他类之间的分离关系。为了开展这项研究，我们需要理解一些涉及函数在极限情况下行为的简单断言。

1.1 函数极限相关定义

设 (f) 是定义在所有自然数集合上的函数，定义如下：
- (\sup_{n \to \infty} f(n) = \lim_{n \to \infty} \text{l.u.b.}{ f(m) | m \geq n})
- (\inf_{n \to \infty} f(n) = \lim_{n \to \infty} \text{g.l.b.}{ f(m) | m \geq n})

当且仅当 (\inf_{n \to \infty} f(n) = \sup_{n \to \infty} f(n)) 时，极限 (\lim_{n \to \infty} f(n)) 存在，此时 (\lim_{n \to \infty} f(n) = \inf_{n \to \infty} f(n) = \sup_{n \to \infty} f(n))。

1.2 函数极限示例

• 示例 1 ：考虑函数 (f(n)) 定义为 (f(n) = \begin{cases} 1/n, & n 为偶数 \ n, & n 为奇数 \end{cases})。对于每个 (n)，(\