40、计算复杂度理论基础概述

计算复杂度理论基础概述

1. 既不在P中也非NP完全的NP集合

许多NP集合已被证明是NP完全的，如：
- 图的3 - 可着色性
- 子集和问题
- （精确）集合覆盖问题
- 旅行商问题

然而，存在一种错误观点，认为任何NP集合要么是NP完全的，要么属于P。实际上：
定理4 ：假设NP ≠ P，则存在既不是NP完全也不在P中的NP集合。

一些自然问题（如因数分解）被推测既不能在多项式时间内解决，也不是NP难的。

证明思路

从NP \ P中的集合L开始，通过迭代修改L得到L′ ⊂ L，使其满足既不在P中也不是NP完全的条件。具体步骤如下：
1. 每次通过从L中删除有限个元素，使L到L′的约简失败。
2. 所有可能的多项式时间决策程序都无法决定L′（L′与L仅在有限个输入上不同）。
3. 交替进行使潜在约简失败（从L的剩余部分删除足够多的字符串）和使潜在决策程序失败（从L的剩余部分包含足够多的字符串）的操作。

最终，L′是L和某个P集合的交集，这意味着L′ ∈ NP \ P。

2. 三个额外主题

2.1 coNP类与NP完全性

通过在复杂度类名称前加上“co”前缀，表示补集类。即coC = { {0, 1}∗ \ L : L ∈ C}，特别地，coNP = { {0, 1}∗ \ L : L ∈ NP}。

广泛认为NP在补运算下不封闭（即NP ≠ coNP），这一猜想意味着P ≠ N