39、编程中的数学运算与代码优化

编程中的数学运算与代码优化

1. 整数除法的优化技巧

在编程中，整数除法是一个常见的操作，但直接进行除法运算可能效率不高。我们可以通过一些数学技巧将除法转换为乘法来提高效率。

1.1 除法转乘法的原理

从学校数学知识可知，除以 9 可以用乘以 1/9 来替代。在浮点数运算中，编译器有时会进行这样的替换，例如 x86 代码中的 FDIV 指令可以被 FMUL 指令替代。但在处理整数和 CPU 寄存器时，不能直接使用分数。不过，我们可以对分数进行变形：

result = x / 9 = x * 1/9 = x * (1 * MagicNumber) / (9 * MagicNumber)

由于除以 2 的 n 次方可以通过移位操作快速实现，我们需要找到一个 MagicNumber，使得 2^n = 9 * MagicNumber 。例如，在某些情况下，汇编代码会乘以 954437177 / (2^32 + 1) ，相当于除以 (2^32 + 1) / 954437177 ，使用 Wolfram Alpha 计算可得结果接近 9。

1.2 不同处理器的实现

1.2.1 ARM 处理器

ARM 处理器和其他“纯” RISC 处理器一样，没有专门的除法指令，也没有直接乘以 32 位常量的单条指令。不过，利用巧妙的技巧，可以仅使用加法、减法和位移位三条指令来实现除法。以下是一个将 32 位数除以 10 的示例