27、A*算法的性能与启发式方法

A*算法的性能与启发式方法

1. 启发式方法的作用

A 算法是一种广泛应用于路径搜索和图遍历的优化技术。它通过首先扩展最有希望的节点来搜索图。为了决定哪个节点最有希望，A 依赖于一个启发式方法。启发式方法提供了一个估计值，用于预测从当前节点扩展到目标节点的最终得分。启发式方法必须是乐观的（即不超过实际成本），这意味着对于最小化问题，启发式方法应返回一个不大于最终得分的值；对于最大化问题，则应返回一个不小于最终得分的值。

1.1 乐观性的定义

乐观性（Admissibility）是指启发式方法不会低估实际成本。例如，在15拼图问题中，启发式方法可能基于每个瓷砖到其正确位置的曼哈顿距离（即垂直距离加水平距离）。这种启发式方法虽然低估了实际所需的移动次数，但它可以很好地估计位置离解决方案的距离。

1.2 启发式方法的重要性

启发式方法在A*算法中起着至关重要的作用，因为它直接影响到算法的效率和准确性。一个好的启发式方法可以在保证找到最优解的同时，显著减少搜索的空间和时间复杂度。例如，在旅行推销员问题（TSP）中，启发式方法可以帮助快速排除不可能的路径，从而集中精力于更有可能成功的路径。

2. 启发式方法的例子

2.1 曼哈顿距离

在15拼图问题中，常用的一种启发式方法是曼哈顿距离。曼哈顿距离计算每个瓷砖到其目标位置的垂直和水平距离之和。这种方法简单且有效，因为它能够很好地估计每个状态离目标状态的距离。

瓷砖位置	目标位置