19、动态规划中的自顶向下设计方法

动态规划中的自顶向下设计方法

1 动态规划简介

动态规划（Dynamic Programming，简称DP）是一种强大的优化技术，广泛应用于计算机科学、经济学、工程学等领域。它通过将复杂问题分解为更小的子问题，并保存这些子问题的解，从而避免重复计算，提高求解效率。动态规划特别适用于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。

1.1 动态规划的应用场景

动态规划适用于以下几种典型问题：
- 背包问题 ：给定一组物品，每个物品都有一定的重量和价值，在限定的总重量条件下，选择若干物品使得总价值最大。
- 最短路径问题 ：在图中找到从起点到终点的最短路径。
- 最长公共子序列 ：给定两个序列，找到它们的最长公共子序列。

1.2 动态规划的特点

动态规划有两个显著特点：
- 重叠子问题 ：一个问题的解依赖于多个子问题的解，而这些子问题的解又相互重叠。
- 最优子结构 ：一个问题的最优解可以通过其子问题的最优解构造而来。

2 自顶向下设计方法

自顶向下设计方法（Top Down Design），也称为记忆化递归（Memoization），是从大问题开始，逐步解决并存储子问题的解，以便在需要时可以直接使用，避免重复计算。这种方法与自底向上设计方法（Bottom Up Design）相对，后者是从最小子问题开始逐步构建更大的解。

2.1 自顶向下设计的