17、动态规划：优化复杂问题求解的艺术

动态规划：优化复杂问题求解的艺术

1 动态规划简介

动态规划（Dynamic Programming, DP）是一种用于解决复杂优化问题的技术。它通过将大问题分解为较小的子问题，并将这些子问题的解组合在一起，从而有效地解决问题。与分治法（Divide and Conquer, D&C）类似，动态规划也通过解决较小的问题来构建整体解决方案，但它更注重保存和重用中间结果，避免重复计算。

动态规划适用的问题特征

动态规划适用于那些可以分阶段解决的问题，并且每个阶段的最优解依赖于前一阶段的输入和输出。这意味着，要使整个问题的解最优，每个阶段的解也必须是最优的。例如，背包问题（Knapsack Problem）就是一个典型的动态规划应用场景。

2 使用动态规划解决背包问题

背包问题是指在一个固定容量的背包中选择物品，使得总价值最大。假设我们有若干个物品，每个物品有一个重量和一个价值，我们需要决定哪些物品放入背包，以使总价值最大，同时不超过背包的容量。

动态规划求解背包问题的步骤

1. 定义状态 ：设 dp[i][w] 表示前 i 个物品在背包容量为 w 时的最大价值。
2. 初始化 ： dp[0][w] = 0 ，即没有任何物品时，无论背包容量多大，总价值都为0。
3. 状态转移方程 ：对于每个物品 i