《视觉SLAM十四讲》学习笔记：第4讲 李群与李代数

《视觉SLAM十四讲》学习笔记：第4讲 李群与李代数

前言：本学习笔记将记录《视觉SLAM十四将》中一些重要的知识点，并对书中一些比较难的知识点添加上一些笔者个人的理解，以供笔者本人复习并与各位同学一起交流学习。本笔记结构将与原书结构一致，如果某一目录下面没有任何笔记，则代表笔者认为该小节内容相对来说没有过多重点知识。

本讲主要解决问题
理论：
1.理解李群与李代数的概念，掌握 $SO(3)，SE(3)$ 与对应李代数的表示方式
2. 理解 BCH 近似的意义。
3. 学会在李代数上的扰动模型。
实践：
1.使用 Sophus 对李代数进行运算。

本章意义：由于在SLAM中位姿是未知的，因此需要解决什么样的相机位姿最符合当前观测数据这个问题，其中一个典型的方式就是把它构建成一个优化问题，求解最优的$R,t$，使得误差最小化。但是，如果直接将旋转矩阵/变换作为优化变量时，会引入额外的约束（旋转矩阵/变换本身带有约束，即旋转部分正交且行列式为1)，因此会给优化带来许多麻烦。而通过李群——李代数间的转换关系，把位姿估计变成无约束的优化问题，简化求解方式。

4.1 李群李代数基础

4.1.1 群
1.群的定义，群是一种集合加上一种运算的代数结构。将集合记作$A$，运算记作$\cdot$，那么群可以记作$G=(A,\cdot )$。群要求这个运算满足以下几个条件：

可以验证，旋转矩阵集合和矩阵乘法构成群，同样变换矩阵和矩阵乘法也构成群。
2.李群：李群是指具有连续（光滑）性质的群。本章重点关注李群$SO(3)$和$SE(3)$。
4.1.2 重新排版说明
本章第一节剩余部分与本章第二节排版较原书略有不同，因此，可能会出现一些奇奇怪怪的节名
但是此处，我们首先需要明确，本章最终想要获得的，是典型的李群$SO(3)$，$SE(3)$分别和李代数$so(3)$，$se(3)$相互之间的转换关系
4.1.3 李代数的定义
每个李群都有与之对应的李代数。李代数描述了李群的局部性质（至于）。通用的李代数的定义如下：
李代数有一个集合$V$，一个数域$F$和一个二元运算[,]组成。如果它们满足以下几条性质，称$(V,F,[,])$为一个李代数，记作$g$。

4.1.3 李代数so(3)
定义李代数$so(3)$:

其对应的李括号为：

可以推导，李代数$so(3)$与$SO(3)$的关系由指数映射给定：

其中，$\varphi$满足：

推导过程如下：
对于任意旋转矩阵$R\in SO(3)$，有：

若认为$R$会随时间连续地变化，比如相机的旋转，那么有：

等式两边对时间求导，得到:

整理得到：

因此，可以看出$\dot{R}(t)R(t{)}^T$是一个反对称矩阵。
这里给出一个符号$\vee$该符号表示将反对称矩阵变为向量：

由于$\dot{R}(t)R(t{)}^T$是一个反对称矩阵，可以找到一个三维向量$\varphi (t)\in R^3$与之对应，于是有：

等式两边右乘$R(t)$，有：

可以看到，每对旋转矩阵求一次导数，只需左乘一个$\varphi (t{)}^{\wedge }$矩阵即可。（$\varphi (t{)}^{\wedge }$是和旋转矩阵有关的，而不是说上式的二阶导就是再加一个一模一样的$\varphi (t{)}^{}$