11、简单半条件文法中规则和非终结符的最小化

简单半条件文法中规则和非终结符的最小化

在形式语言理论中，文法是生成语言的重要工具。本文将探讨简单半条件文法（SSCG）中规则和非终结符的最小化问题，以及相关的Geffert范式和规则应用顺序的变化。

1. 基本概念

• 子词集合与长度 ：对于一个字符串 $x \in \Sigma^ $，$sub(x)$ 表示 $x$ 的所有子词的集合，显然 $sub(x)$ 是一个有限语言。对于字符串 $w \in \Sigma^ $，$|w|$ 表示 $w$ 的长度。
• 半条件文法 ：半条件文法是一个四元组 $G = (V, T, P, S)$，其中：
  • $V$ 是总字母表。
  • $T \subset V$ 是终结字母表。
  • $S \in V \setminus T$ 是起始符号。
  • $P$ 是有限的产生式集合，形式为 $(A \to x, \alpha, \beta)$，其中 $A \in V \setminus T$，$x \in V^*$，$\alpha, \beta \in V^+ \cup {0}$，这里 $0 \notin V$ 是一个特殊符号，表示条件缺失。对于这个特殊符号，我们定义 $|0| = 0$。
  • 产生式 $l : (A \to x, \alpha, \beta) \in P$（带有标签 $l$）如果 $\alpha \neq 0$ 或 $\beta \neq 0$，则称为条件产生式，否则为无条件产生式。$\alpha$ 称为允许