9、哈默斯利型过程的语言与级数研究

哈默斯利型过程的语言与级数研究

1. 动机与符号定义

• 符号集合 ：定义 $\Sigma_{\infty} = \bigcup_{k \geq 1} \Sigma_{k}$。对于 $\Sigma_{\infty}$ 上的 $x$ 和 $y$，用 $x \sqsubseteq y$ 表示 $x$ 是 $y$ 的前缀，$x$ 的（非空）前缀集合记为 $\text{Pref}(x)$。
• k 元堆 ：k 元（最大）堆是一个 k 元树，不一定是完全树，其节点标签 $t[\cdot]$ 满足最小堆条件 $t[\text{parent}(x)] \geq t[x]$。
• 序列表示 ：设 $r \geq 1$，$a_1, b_1, \cdots, a_r > 0$ 且 $b_r \geq 0$ 为整数，用 $[a_0, b_0, \cdots, a_t, b_t]$ 作为 $1^{a_0}0^{b_0} \cdots 1^{a_r}0^{b_r} \in \Sigma_{1}^{*}$ 的简写（其中 $0^0 = \epsilon$，即空字）。

2. 堆可性概念

• 定义 ：序列 $X = X_0, \cdots, X_{n - 1}$ 是最大 k 堆可的，如果存在一个 k 元树 $T$，其节点由 $X$ 中的元素（恰好一个）标记，使得对于每个非根节点 $X_i$ 及其父节点 $X_j$，有 $X_j \geq X_i$ 且 $j < i$。特别地，