23、线性代数中的向量空间与线性方程组求解

线性代数中的向量空间与线性方程组求解

1. 向量空间概述

向量空间是二维平面和三维空间的推广，它是一组可以进行加法和数乘运算的对象集合。这些加法和数乘运算需要遵循特定规则，以模拟二维和三维空间中更为熟悉的运算。

• Python 中的泛化 ：在 Python 里，我们可以将不同数据类型的共同特征提取到一个抽象基类中，并通过继承该基类来实现泛化。同时，还能对算术运算符进行重载，这样无论使用何种类型的向量，向量数学运算在代码中的表现形式都是一致的。
• 实际应用 ：现实世界中的物体，如二手车，可用多个数字（坐标）来描述，从而可将其视为向量。这使我们能够思考诸如“两辆汽车的加权平均值”这类抽象概念。
• 函数与矩阵作为向量 ：函数也可被看作向量，通过对定义它们的表达式进行加法或乘法运算，就能实现函数的加法或数乘。矩阵同样可视为向量，一个 m×n 矩阵的元素可看作一个 (m · n) 维向量的坐标。对矩阵进行加法或数乘运算，与对它们所定义的线性函数进行相同运算具有相同效果。
• 图像向量空间 ：固定高度和宽度的图像构成一个向量空间。每个像素由红、绿、蓝（RGB）值定义，因此坐标数量以及空间维度由像素数量的三倍确定。以下是一个处理低分辨率灰度图像的函数：

def from_lowres_grayscale(matrix): 
    def lowres(pixels, ij):