6、金融市场建模与数据校准

金融市场建模与数据校准

在金融市场建模和数据校准的工作中，我们需要综合考虑多个方面，包括优化算法的选择、不同类型的金融模型以及相关产品的定价公式。下面将详细介绍这些内容。

优化算法：局部与全局

在进行模型校准以最小化目标函数时，这是一个非线性问题。由于目标函数的形状复杂，我们需要同时应用局部和全局优化算法。
- 局部或确定性算法 ：以单纯形下山算法为例，这类算法简单且速度快。在每一步，它们会确定目标函数下降最快的方向。然而，它们容易陷入局部最小值，因此需要用不同的初始参数重新启动。当对模型参数有较强的预期，例如有之前校准过的参数时，使用这些参数作为优化的起始值是很有意义的。
- 全局或随机算法 ：像自适应模拟退火算法，它不依赖于初始参数集，通过随机搜索整个空间来寻找最优解。这种算法能够持续改进目标函数的值，但计算成本较高。在初始校准或市场情况发生重大变化时，这类算法尤为适用。

需要注意的是，在许多实际应用中，并不需要追求完美的拟合，稳定且更可靠的值通常更受青睐。金融衍生品定价的不准确来源众多，模型参数的校准只是其中之一，还包括模型的适用性和近似公式的使用等。

金融市场建模

接下来，我们将重点介绍金融权益和利率模型，并给出相关产品的封闭式和半封闭式定价公式。

权益模型

• 布莱克 - 斯科尔斯模型 ：这是最著名的权益模型，股票价格 $S_t$ 被建模为几何布朗运动。在风险中性测度下，模型表示为：
• $dS_t = rS_t dt +