55、基于近似线性化的控制系统分析

基于近似线性化的控制系统分析

1. 晃动容器系统模型的近似线性化

1.1 近似线性化模型

晃动容器系统的动态模型在临时操作点 $(x^ , u^ )$ 附近进行近似线性化，该操作点在控制算法的每个时间步更新。其中，$x^ $ 是系统状态向量的当前值，$u^ $ 是控制输入向量的最后采样值。系统的近似线性化模型可表示为：
$\dot{x} = Ax + Bu + \tilde{d}$ (5.183)
式中，$\tilde{d}$ 是累积干扰向量，它包含以下三部分：
1. 泰勒级数展开中高阶项截断导致的建模误差；
2. 外部扰动；
3. 任意分布的传感器噪声。

矩阵 $A$ 和 $B$ 与系统的雅可比矩阵相关，具体计算如下：
$A = \nabla_x [f(x) + g(x)u] | {(x^ ,u^ )} \Rightarrow$
$A = \nabla_x [f(x)] | {(x^ ,u^ )} + \nabla_x [g(x)]u | {(x^ ,u^ )}$ (5.184)
$B = \nabla_u [f(x) + g(x)u] | {(x^ ,u^ )} \Rightarrow$
$B = g(x) |_{(x^ ,u^ )}$ (5.185)

雅可比矩阵 $\nabla_x f(x) | {(x^ ,u^ )}$ 的计算过程如下