MIMO系统解耦控制综述

多输入多输出解耦控制工业综述

摘要

近几十年来，多输入多输出（MIMO）系统在工业应用中越来越广泛。文献中已研究了多种解耦控制算法。因此，有必要对工业过程中最广泛应用的耦合交互分析和解耦器设计方法进行综述。本文为了便于具有不同学术背景的研究人员和工程师使用，将分散的耦合交互分析和解耦算法进行了收集，并根据其特点、应用领域以及选择时的参考评注进行了分类。此外，还讨论了解耦控制中一些常见问题。

关键词 ：解耦控制，工业应用，交互分析，MIMO系统。

1. 引言

大多数工业控制系统都是多输入多输出系统。在多输入多输出系统控制中，最重要的问题之一是耦合问题，该问题最早由Boksenbom和Hood在1950[1]中提出。然而，当时耦合仅被视为一种复杂的设计概念，并未得到广泛研究。随着制造业的快速发展，旨在消除或减少多回路交互问题的方法在过去几十年中受到了广泛关注。20世纪80年代，Waller教授在其报告中指出：“目前美国化工过程控制领域研究最活跃的课题之一是交互分析，其研究内容为多输入多输出系统中输入与输出之间的耦合”[2]。

Boksenbom和Hood提出的解耦控制算法的主要思想是使受控MIMO系统的整体闭环传递函数呈对角形[1, 3]。迄今为止，这仍然是解决耦合问题的主要方法。基于这一思想，还取得了一些其他重要成果。例如，Mesarovic根据系统传递函数[4]将具有相同输入和输出的受控系统分为两类，即P‐规范型和V‐规范型系统；相应地，Sonquist和Morgan在[5]中提出了一种状态空间解耦控制方法；一个必要手稿于2018年6月5日收到；2018年11月1日修订；2018年12月23日接受。由副编辑Jong Min Lee在主编Jay H. Lee的指导下推荐。本工作得到国家自然科学基金（批准号：61673094）以及中央高校基本科研业务费专项资金（批准号：G2018KY0305和G2018KY0302）资助。

刘璐，西北工业大学海洋科学与技术学院，中国西安市710072（电子邮件：li‐lu12201220@nwpu.edu.cn）。田思源和张涛，泛林集团，美国加利福尼亚州弗里蒙特94539（电子邮件：{Siyuan.Tian, Tao.Zhang}@lamresearch.com）。薛定宇，东北大学信息科学与工程学院，中国沈阳110819（电子邮件：xuedingyu@mail.neu.edu.cn）。陈阳泉，加州大学默塞德分校科学与工程学院，美国加利福尼亚州95348（电子邮件：ychen53@ucmerced.edu）。张硕，西北工业大学应用数学系，中国西安市710072（电子邮件：zhangshuo1018@nwpu.edu.cn）。* 通讯作者。

法尔布和沃尔维奇提出了基于状态空间的方阵系统解耦问题可解性的充分条件[6]；随后，吉尔伯特得到了传递函数表示系统的等价条件[7]。然而，这些方法都是基于输入和输出数量相同的假设，即受控系统被假定为方阵系统。旺哈姆和摩尔斯基于几何方法提出了一种解除该假设的通用解耦策略[8]。西尔弗曼也提出了一种类似的控制方案[9]。其他有关解耦算法的相关研究可见于[10–12]，仅举几例。在大量研究中，应用于精馏塔的解耦策略已成为最热门的话题之一[13,14]。

本文收集了大多数具有代表性的耦合分析和解耦策略，并回顾了它们的特点及应用领域。类似的研究综述可参见Liu[15]和Wang[16]。然而，这两本书分别出版于1983年和2002年，因此未包含近年来特别是某些新颖的智能解耦方法[17,18]。

本文其余部分组织如下：第2节介绍了一些具有代表性的交互分析方法；第3节和第4节详细描述了通用型和专用型解耦策略及其特性与应用领域；最后，第5节给出了结论。

2. 交互分析

2.1. 相对增益阵列 (RGA)

不同输入和输出配对之间的相对交互作用应是多输入多输出解耦控制中首先需要考虑的问题。

布里斯托尔提出的相对增益阵列（RGA）[19]是用于量化不同输入‐输出配对之间相互作用程度的广泛接受的指标。它仅考虑受控系统的稳态信息。一个n输入‐n输出MIMO系统的RGA定义为[20]：

$$
\Lambda =
\begin{bmatrix}
\lambda_{11} & \lambda_{12} & \dots & \lambda_{1n} \
\lambda_{21} & \lambda_{22} & \dots & \lambda_{2n} \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
\lambda_{n1} & \lambda_{n2} & \dots & \lambda_{nn}
\end{bmatrix}_{n\times n},
\quad (1)
$$

其中

$$
\lambda_{ij} = \frac{\text{open-loop gain between } y_i \text{ and } u_j}{\text{closed-loop gain between } y_i \text{ and } u_j},
\quad (i= 1,2,\dots,n, j= 1,2,\dots,n). \quad (2)
$$

在相对增益阵列基础上还提出了一些其他的交互分析算法[21, 22]。但需要指出的是，由于相对增益阵列仅关注系统的稳态信息，因此在识别不同输入‐输出配对之间的动态交互方面能力较弱。

2.2. 直接奈奎斯特阵列（DNA）

另一种估计不同输入‐输出配对之间动态相互作用的方法是直接奈奎斯特阵列（DNA）。从频率角度而言，它可以比相对增益阵列提供更多的耦合信息。

但DNA的计算负担也高于相对增益阵列，因为DNA需要动态系统的传递函数。

建议如果MIMO系统的动态模型可用，则应采用DNA等交互分析方法以获得更完整的信息。另一方面，若仅已知稳态增益，则RGA可提供明智的指导。

2.3. 完全解耦和部分解耦

根据耦合度，多输入多输出系统可分为两类：完全耦合系统和部分耦合系统[15]。如果一个多输入多输出系统中的任意两个控制回路之间都存在相互作用，则称其为完全耦合系统。否则，称为部分耦合系统。相应地，产生了两种解耦方法，即完全解耦和部分解耦。

图1(a) 表示一个具有两个控制回路（即X和Y）的完全耦合系统；图1(b) 和图1(c) 是同一系统的部分耦合情况。相应的完全解耦系统如图1(d)所示。

理论上，完全解耦始终是首选。但在大多数情况下，由于受控系统中可能存在一些不可测量的干扰，完全解耦可能难以实现，甚至不可能实现，或者根本没有必要实现。

3. 通用解耦算法

在MIMO系统中实现合适的输入‐输出配对后，设计适当的解耦器或控制器将是下一步的重要工作。

有效的多输入多输出控制策略可以通过带有多个解耦器的集中式MIMO控制器或一系列SISO分散控制器来实现[22,23]。

3.1. 分散控制器

假设一个n输入‐n输出系统，其由G(s)描述为：

$$
G(s) = {g_{ij}(s), i= 1\dots n, j= 1\dots n}, \quad (3)
$$

然后可以得到一个相应的分散控制器，其为对角矩阵C(s)：

$$
C(s) = \text{diag}{C_{11}(s), C_{22}(s), \dots, C_{nn}(s)}_{n\times n}. \quad (4)
$$

图2显示了一个双输入双输出（TITO）系统的最简单的分散控制结构。需要注意的是，在分散控制下，MIMO过程的相互作用可能无法得到有效抑制。

已有一些文献致力于解决这一问题[24,25]。

然而，直到现在，仍然没有一种被广泛接受的方法来判断分散控制器是否适用于多输入多输出系统。

3.2. 静态解耦

采用集中式控制器控制的多输入多输出系统应首先进行解耦。此时，解耦算法可分为两类，即静态解耦和动态解耦。静态解耦器可仅基于稳态增益简单设计。因此，如果可用信息有限，开发一个静态解耦器将是一个明智的选择。

考虑一个其传递函数如式(3)所示的MIMO系统。假设参数$ k_{ij}, i= 1\dots n,j= 1\dots n $是$ g_{ij}(s) $的稳态增益。那么，稳态增益矩阵G(0)可表示为：

$$
G(0) = {k_{ij}, i= 1\dots n, j= 1\dots n}. \quad (5)
$$

图3所示的MIMO系统G(s)的静态解耦器推导如下：

$$
D = G^{-1}(0). \quad (6)
$$

正如在[26]中所讨论的，静态解耦器在闭环中可能无法提供令人满意的解耦性能。它还可能对某些多输入多输出过程的高频响应产生一些不良影响。建议将静态解耦器用于含有积分项的系统[26]。这是因为随着频率的增加，非对角项的幅值下降速度比对角项更快。

然而，对于某些工业过程，更倾向于使用静态解耦器，因为它对受控系统的信息需求较少，且能够降低模型不确定性带来的影响风险。同时，与动态解耦器相比，静态解耦器的实现可能更为简单。

3.3. 动态解耦

与静态解耦相比，采用动态解耦器的MIMO系统通常能实现更优的性能，以获得精确的过程模型为代价。通常，动态解耦算法有三种，已在工业过程中得到广泛研究和应用，即理想解耦、简化解耦和逆解耦[27]。这三种解耦器各自具有不同的特性和局限性。

在本小节中，以TITO系统作为示例，该系统是多输入多输出系统中最具有代表性的系统之一，旨在提高论文的可读性和良好的可扩展性[28]。

3.3.1 理想解耦

考虑一个通用的TITO系统，其控制器矩阵C(s)、解耦器矩阵D(s)、被控对象矩阵G(s)、设定值信号ri、控制信号ui和输出量yi如图4所示：

$$
C(s) =
\begin{bmatrix}
C_1(s) & 0 \
0 & C_2(s)
\end{bmatrix}_{2\times 2}, \quad (7)
$$

$$
D(s) =
\begin{bmatrix}
D_{11}(s) & D_{12}(s) \
D_{21}(s) & D_{22}(s)
\end{bmatrix}_{2\times 2}, \quad (8)
$$

$$
G(s) =
\begin{bmatrix}
G_{11}(s) & G_{12}(s) \
G_{21}(s) & G_{22}(s)
\end{bmatrix}_{2\times 2}. \quad (9)
$$

如果受控系统G(s)被有效解耦，则表示解耦后系统的乘积矩阵M(s)= G(s)D(s)应为对角的。因此，可得D(s)为：

$$
D(s) = G^{-1}(s)M(s)
= \frac{1}{G_{11}(s)G_{22}(s)-G_{12}(s)G_{21}(s)}
\begin{bmatrix}
G_{22}(s)M_{11}(s) & -G_{12}(s)M_{22}(s) \
-G_{21}(s)M_{11}(s) & G_{11}(s)M_{22}(s)
\end{bmatrix}_{2\times 2}.
\quad (10)
$$

“理想解耦”的主要思想是设定$ M_{11}(s)=G_{11}(s) $和$ M_{22}(s)= G_{22}(s) $[13]，从而得到乘积矩阵$ M(s)=[M_{11}(s), 0; 0, M_{22}(s)] $，这表示一个完全的解耦系统。然后，控制器$ C_1(s), C_2(s) $可以在理想解耦条件下以相同的方式进行整定。即使不同的回路设置在不同的模式下，控制器也无需重新整定。

尽管理想解耦从运行点的角度来看具有明显优势，但其复杂的表达式D(s)中包含传递函数的和，常常成为一个问题。此外，[13]中讨论的理想解耦的有限适用性问题，以及理想解耦对模型误差的敏感性和系统维度的影响[30]也不应忽视。因此，理想解耦在实际中很少被使用。

3.3.2 简化解耦

鲁本也提出了在文献中更广泛使用的简化解耦[13]。

一种常见的简化解耦系统的表达式如图5所示：

$$
D(s) =
\begin{bmatrix}
1 & -G_{12}(s)/G_{11}(s) \
-G_{21}(s)/G_{22}(s) & 1
\end{bmatrix}_{2\times 2}.
\quad (11)
$$

与理想解耦的四个解耦器相比，简化解耦过程中只需生成两个解耦器。Waller et al. 由于某些可实现性问题，提出了三种简化解耦的替代结构[14]。矩阵D(s)的不同列中的两个元素可设为1。因此，可得到另外三种替代的简化解耦器结构如下：

$$
D(s) =
\begin{bmatrix}
-G_{22}(s)/G_{21}(s) & 1 \
1 & -G_{11}(s)/G_{12}(s)
\end{bmatrix}_{2\times 2},
\quad (12)
$$

$$
D(s) =
\begin{bmatrix}
1 & -G_{22}(s)/G_{21}(s) \
-G_{12}(s)/G_{11}(s) & 1
\end{bmatrix}_{2\times 2},
\quad (13)
$$

$$
D(s) =
\begin{bmatrix}
1 & 1 \
-G_{21}(s)/G_{22}(s) & -G_{11}(s)/G_{12}(s)
\end{bmatrix}_{2\times 2}.
\quad (14)
$$

简化解耦方案易于在实践中实现。但由于解耦器表达式中仍存在一些求和元件，因此控制器整定过程也可能很困难。建议在[27]使用求和元素的近似方法，以减轻控制器设计阶段的负担。将简化解耦方案应用于高维过程时存在的问题与理想解耦[30]相同。

3.3.3 逆解耦

另一种广泛使用的解耦算法是逆解耦，它能够推导出与理想解耦器相同的解耦过程模型，而无需复杂的D(s)表达式。该方法最初由Shinskey提出[31]，并在[32]中进行了详细阐述。图6展示了逆解耦的结构。具体推导过程可参见[13]。为简化起见，可将$ D_{11}(s), D_{22}(s) $设为1，从而得到$ D_{12}(s), D_{21}(s) $为：

$$
D_{12}(s) = -\frac{G_{12}(s)}{G_{11}(s)},
\quad
D_{21}(s) = -\frac{G_{21}(s)}{G_{22}(s)}.
\quad (15)
$$

逆解耦具有与理想解耦相同的解耦传递函数，以及与简化解耦相同的方便实现特性。因此，它应兼具理想解耦和简化解耦两者的优点[13]。因此，逆解耦的优点总结为：当应用逆解耦时，解耦系统的行为如同各控制回路之间无相互作用，且备用控制器处于手动模式；每个解耦回路可避免作为其他控制回路的副回路运行；可在分布式控制系统（DCS）中以前馈输入的形式实现。此外，在系统模式切换时不会出现初始化和无扰切换问题。

还有几篇论文讨论了逆解耦[30, 33, 34]的改进。文献[33]提出了一种扩展的逆解耦策略，其不同结构配置具有更高的灵活性。针对存在多个时间延迟和非最小相位零点的解耦问题，文献[34]提出了另一种改进的逆解耦技术。然而，该技术仅适用于一部分多输入多输出系统。

总体而言，与其它动态解耦方案相比，逆解耦具有更多优势。采用这种解耦器时，诸如初始化、手动与自动模式之间的无扰切换以及操作变量的饱和等问题更容易解决。

3.3.4 关于何时以及如何使用动态解耦算法的建议

在本小节中，作者将对前述讨论的动态解耦算法中一些常见问题给出若干评述和建议[13,27,31,34]。

1) 可实现性
如果解耦器的输出不由其未来的输入值决定，则该解耦器是可实现的。换句话说，解耦器中的所有项都必须是真有理的。形如$ e^{\tau s} (\tau > 0) $的项不能出现在解耦系统的传递函数[32]中。一些研究建议在必要时通过向不可实现的项添加额外的时间延迟来解决此问题[13]。这有时被认为是一个不错的办法。然而，在加入额外延迟项后，MIMO系统的稳定性有时无法得到保证。

2) 稳定性
如[35]所示，采用简化解耦的系统是标称稳定的，但采用理想解耦和逆解耦的系统则不稳定，特别是当系统传递函数中出现右半平面零点时。文献[32]提出了一种可用于判断逆解耦系统稳定性的参数K。该文严格说明了其局限性，这些局限性也可能适用于理想解耦。然而，根据该参数的表达式，K难以实现。

3) 鲁棒性
一种被广泛接受的评估控制系统鲁棒性的方法是Arkun et al.[35]提出的奇异值分析。该方法已应用于多个精馏塔的解耦过程[14]。研究[35]得出结论：理想解耦对建模误差敏感，因此理想解耦方法在实际控制过程中很少被应用。作为理想解耦的另一种形式，逆解耦克服了这一缺点，已被广泛接受。然而，研究[27]证实，当控制器被整定以实现等效的闭环系统性能时，理想解耦、简化解耦和逆解耦算法可能具有相同的鲁棒性。在这种情况下，控制器设计的复杂性可能是需要考虑的另一个因素。

4) 实现
在[32]中指出，理想和简化解耦器忽略了计算机与控制器之间输入信号流量的不匹配。采用逆解耦方案的多输入多输出系统在系统运行模式改变时仍能保持解耦状态，然而理想和简化解耦器不具备这一优点。这意味着当运行模式改变时，需要重新整定控制器参数。解决该问题的一种方法是在解耦系统达到稳态[27]后再切换运行模式。此外，逆解耦器可以通过现代分布式控制系统（DCS）中配置的大多数标准功能块直接实现[31]。

4. 特殊用途解耦算法

4.1. 时滞系统解耦控制

时间延迟是工业过程中一个关键且经常出现的问题。它可能导致严重的问题，如偏移、系统响应迟缓，甚至不稳定的振荡[36]。此外，当不同输入‐输出配对中出现多变量时间延迟时，这些不良性能可能变得更加严重。

4.1.1 史密斯预估器

对于单输入单输出系统，存在一种被广泛接受的时滞补偿算法，称为史密斯预估器[37]。
Ogunnaike和Ray在某些特定假设下对该补偿算法进行了改进，使其适用于具有多变量延迟的多输入多输出系统[38]。关于多变量史密斯预估器的其他发展可在[39, 40]中找到。这些解耦方法主要针对具有多变量延迟的系统。这些解耦方法试图首先使多输入多输出系统实现解耦，从而将交互式多输入多输出系统控制问题转化为多个单回路系统控制问题。然后，可根据解耦系统设计史密斯预估器。然而，由于预测器的不确定性精度、不可实现的矩阵求逆表达式以及复杂的解耦过程，史密斯预估器解耦一直未能在工业过程中得到广泛应用。

4.1.2 纯滞后补偿器

一种基于单位反馈控制结构的纯滞后补偿器（DTC）由Liu et al.[41]提出。研究表明，该解析解耦算法能够以较小的计算量实现对多输入多输出系统的显著甚至完全解耦。类似地，研究[30]提出了针对一阶加纯滞后MIMO系统的一种改进型逆解耦器与DTC相结合的替代方案。然而，对于该方案应注意两点：一是该解耦策略的成功概率可能受到系统模型延迟精度的较大影响；二是实际应用中DTC的实现成本应予以考虑。

4.1.3 近似解耦方法

Nordfeldt等人提出了一种针对时滞系统的新型近似解耦方法et al.[42]。作者利用较长时间常数$ T_l $与较短时间常数$ T_s $之间的差值，将一阶项转换为二阶项，即：

$$
\frac{1}{T_l s + 1} \approx \frac{1}{(T_s s + 1)((T_l - T_s)s + 1)}. \quad (16)
$$

这样，矩阵列中的剩余极点$ 1/(T_s s + 1) $可以被消除。然而，论文中并未提及$ T_l, T_s $的相对大小度，因此该程度对解耦性能的影响可能成为一个问题。

此外，一些基于内模控制、旨在解决具有多变量时间延迟的MIMO系统的有效解耦方案将在后面进行讨论。需要注意的是，当使用上述控制算法时，控制器中可能包含时滞项和非最小相位零点，这可能会导致一些不可预测问题。

4.2. 智能解耦控制

对于具有强非线性、强耦合、不确定性，甚至不稳定非最小相位和不可测量时滞的复杂多输入多输出工业过程，上述解耦算法可能无法奏效。解决此类问题的一种简单方法是将复杂系统近似为一阶或二阶时滞模型。被控模型的辨识过程通常通过现场数据和固定增益调度器实现，后者有助于补偿非线性部分[43,44]。然而，这些方法的精确性和准确性在很大程度上取决于实际工况。此外，针对这些复杂系统，已提出了许多智能解耦算法[45–47]。其中，自适应控制、模糊控制和神经网络控制是代表性方法。

4.2.1 自适应解耦

自适应解耦算法由Borisson提出，1979[48]此后得到了广泛讨论。[49]在[49]分别设计了基于自整定和零极点替换的自适应解耦控制器。在[50]，通过前馈补偿器解决了多输入多输出系统中引起的交互问题。自适应解耦控制的实际例子可以在[51]中找到。

4.2.2 智能解耦

最近，一些基于模糊自适应控制和神经网络（NNs）已被研究[52–54]。这类解耦方法的优点在于能够处理复杂实际过程中的不确定性问题。

此外，基于遗传算法（GA）、粒子群优化（PSO）等的其他智能解耦控制方案可在[55]。
然而，与智能解耦控制器设计方法的广泛讨论形成鲜明对比的是，关于其鲁棒性和实现方法的研究在文献中几乎未被涉及。此外，针对具有不确定性和强耦合性能的非线性MIMO系统的研究仍然缺失。大多数智能算法相对复杂，在实际中难以实现，因此该领域仍需投入更多研究努力。

4.3. 解耦控制分析

逆传递矩阵$ G^{-1}(s) $将在大多数解耦过程中被需要。
静态增益传递矩阵的逆总是容易获得。然而，$ G^{-1}(s) $的形式在理论上很难甚至无法实现。文献[56]中提出了一种伴随矩阵解耦方案，该方案能够实现对角解耦，从而绕过逆矩阵问题。该算法基于特征序列概念提出，并给出了具体实现步骤。
伴随矩阵解耦方案的有效性已在[56]中得到证明。
该算法可能适用于传递函数中含有高阶和大延迟项的过程。但其可实施性和可计算性仍需通过更多的研究工作加以确认。

4.4. 内模控制

基于内模控制（IMC）理论，研究[57]提出了一些迭代算法来处理复杂的延迟解耦问题。Liu et al. 提出了一种新的解析解耦控制器设计方法，该方法采用标准内模控制结构，适用于TITO多变量时滞系统[58]。作者还提出了一种评估控制系统的方法。
当控制回路中存在时间延迟和其他不确定性时，Wang et al[16]在内模控制解耦方面的另一项努力是鲁棒稳定性。通过该算法解耦的系统可以获得具有可接受的超调和快速响应的满意性能。然而，该方法的计算负担可能相当大。其他基于内模控制的解耦算法的最新研究可参见[59]。

4.5. 模型预测解耦控制

模型预测控制（MPC）是工业过程中最常应用的控制算法之一。
实际上，模型预测控制（MPC）并不是设计解耦器的方法。当回路间的相互作用过于严重或经典解耦设计过于复杂时，MPC是一种处理交互回路的替代方法。许多研究探讨了如何通过MPC提高多输入多输出系统的控制性能[60–62]。在[60]中提出了一种针对MIMO解耦问题的连续时间预测控制算法。文献中比较了分散式比例积分控制器与动态矩阵控制（DMC）方案在工业多变量输入多变量输出系统中的控制性能[61]。另一项改进的模型预测控制方案在[62]中被提出，以减少MIMO系统中的交叉耦合。显著降低的交叉耦合性能表明了该控制方案的有效性。
大多数用于多输入多输出解耦系统的模型预测控制方案能够处理时滞环节以及非最小相位环节，且无需设计解耦器的过程。但应用于实际过程的模型预测控制或动态矩阵控制算法的参数整定过程通常较难处理。此外，若考虑使用模型预测控制，可能需要一个在工业过程中难以获得的状态空间模型。

5. 结论

本文全面回顾了现有的回路间相互作用分析和解耦控制方法。介绍了两类解耦算法，即通用和特殊用途解耦算法，并阐述了它们的特性、优点及应用领域。
本综述可为不同背景的研究人员和工程师提供参考或指导，使其能够轻松进入这一领域。
需要指出的是，尽管解耦在多输入多输出过程控制中是一个重要问题，但仍存在一些情况可能不需要解耦[1]。例如，在飞机控制系统中，利用耦合可以提升系统性能[63]。总体而言，解耦是提高多输入多输出系统控制性能的首选方法之一，但并非总是必要。
是否需要解耦应根据具体应用来决定。