题目
题目描述
给你一个整数 n ,求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种?返回满足题意的二叉搜索树的种数。
示例 1:
输入:n = 3
输出:5
示例 2:
输入:n = 1
输出:1
提示:
1 <= n <= 19
题解
这个问题实际上是在询问具有 n 个节点的二叉搜索树(BST)的不同数目。这个问题可以通过动态规划(Dynamic Programming, DP)来解决,因为它满足最优子结构性质:即问题的解可以由更小规模子问题的解构建而来。
解题思路
对于从 1
到 n
的每个整数 i
,我们可以把它作为根节点。那么:
[1, i-1]
这些数字会在其左子树中,形成不同的 BSTs。[i+1, n]
这些数字会在其右子树中,形成不同的 BSTs。
因为左子树和右子树都是 BSTs,并且它们的数量仅依赖于节点的数量,所以我们只需要知道对于任意数量的节点能形成多少种 BSTs 就可以了。这正是卡特兰数(Catalan number)的应用场景之一。
因此,我们可以通过以下步骤计算不同 BSTs 的数量:
- 创建一个大小为
n+1