96.不同的二叉搜索树 python

题目

题目描述

给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

示例 1：

输入：n = 3
输出：5

示例 2：

输入：n = 1
输出：1

提示：

1 <= n <= 19

题解

这个问题实际上是在询问具有 n 个节点的二叉搜索树（BST）的不同数目。这个问题可以通过动态规划（Dynamic Programming, DP）来解决，因为它满足最优子结构性质：即问题的解可以由更小规模子问题的解构建而来。

解题思路

对于从 1 到 n 的每个整数 i，我们可以把它作为根节点。那么：

• [1, i-1] 这些数字会在其左子树中，形成不同的 BSTs。
• [i+1, n] 这些数字会在其右子树中，形成不同的 BSTs。

因为左子树和右子树都是 BSTs，并且它们的数量仅依赖于节点的数量，所以我们只需要知道对于任意数量的节点能形成多少种 BSTs 就可以了。这正是卡特兰数（Catalan number）的应用场景之一。

因此，我们可以通过以下步骤计算不同 BSTs 的数量：

1. 创建一个大小为 n+1