CF708C Centroids

原创于 2024-08-22 15:19:41 发布 · 266 阅读

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给出一棵树，你可以选择断掉其中的一条边将其重新连接到任意一个节点上，使其形成一棵新树，请问有多少个节点可以通过这种操作成为树的重心？
输出一行 $N$ 个数，第 $i$ 个数字是 $0/1$ 表示第 $i$ 个节点能/不能成为重心 $(0\leq N\leq4*10^5)$

Solution:

先要知道重心的性质：如果以某个点为根，每个子树的大小都不大于 $\frac{n}{2}$ ，则称某个点为重心

若一个点不是重心，就在它的大小大于 $\frac{n}{2}$ 的子树中选一个更小的子树，断掉它与父节点的连边并连到当前处理的节点，此时我们发现处理和判定很麻烦，再考虑重心的性质，我们发现如果令重心作为根，发现一个节点不是重心，那么只能是此节点的父节点所在子树大小超过 $\frac{n}{2}$ ，因此记录 $f_i$ 为除子树 $i$ 以外，大小最大且不超过 $\frac{n}{2}$ 的子树大小，此时判断一个节点 $i$ 是否为重心，只需看 $n-sz_i-f_i$ 是否小于等于 $\frac{n}{2}$ 。

所以我们要求的就是所有节点除了本身以外的部分中不超出 $\frac{n}{2}$ 的最大子树大小，设 $mx_{x,0/1}$ 表示x中子树不超出 $\frac{n}{2}$ ，跑三次dfs，先求出重心，然后以重心为根进行换根dp，就可求出最终答案。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=4e5+10;

int n,head[N],tot,sz[N],root,mx[N][2],f[N],ans[N];

struct node{
	int to,nxt;
}edge[N*2];

void add(int x,int y){
	edge[++tot].to=y;
	edge[tot].nxt=head[x];
	head[x]=tot;
}

void dfs(int x,int fa){
	sz[x]=1;
	bool flag=true;
	for(int i=head[x];i;i=edge[i].nxt){
		int y=edge[i].to;
		if(y==fa) continue;
		dfs(y,x);
		sz[x]+=sz[y];
		if(sz[y]>n/2) flag=false;
	}
	if(n-sz[x]>n/2) flag=false;
	if(flag) root=x;
}

void DFS(int x,int fa){
	sz[x]=1;
	for(int i=head[x];i;i=edge[i].nxt){
		int y=edge[i].to;
		if(y==fa) continue;
		DFS(y,x);
		sz[x]+=sz[y];
		if(sz[y]>n/2) continue;
		if(sz[y]>mx[x][0]) mx[x][1]=mx[x][0],mx[x][0]=sz[y];
		else if(sz[y]>mx[x][1]) mx[x][1]=sz[y];
	}
}

void Dfs(int x,int fa,int MX){
	f[x]=MX;
	for(int i=head[x];i;i=edge[i].nxt){
		int y=edge[i].to;
		if(y==fa) continue;
		if(n-sz[x]<=n/2) MX=max(MX,n-sz[x]);
		if(mx[x][0]==sz[y]) Dfs(y,x,max(MX,mx[x][1]));
		else Dfs(y,x,max(MX,mx[x][0]));
	}
	if(n-sz[x]-f[x]<=n/2||x==root) ans[x]=1;
}

int main(){
	
	cin>>n;
	for(int i=1;i<n;i++){int x,y;cin>>x>>y;add(x,y),add(y,x);}
	dfs(1,0);
	DFS(root,0);
	Dfs(root,0,0);
	for(int i=1;i<=n;i++) cout<<ans[i]<<" ";
	
	return 0;
}