CF708C 【Centroids】树上DP

最新推荐文章于 2022-09-01 01:41:56 发布

lyonluyuang

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文章标签：树上DP DP

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/lyonluyuang/article/details/85790284

本文介绍了如何解决树上DP中的Centroids问题。首先通过简化问题，阐述了如何求解无根树中任意边的size，接着讨论了在允许修改树的情况下，如何处理边的增删以找到树的中心。通过两次DFS实现算法，并提供了相应的代码示例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

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1.我们先来简化一下问题

如果题目不让我们改造这棵树，就很好求了。
先求出 $s i z e [e]$ （如下图）， $e$ 为无根树中的任意一条有向边（我们在邻接表中使用一对有向边 $e$ 和 $\overline{e}$ 来表示，其中 $\overline{e}$ 为 $e$ 的反向边,表示以 $t a i l [e]$ （表示边e的尾）为根的子树的大小。可知 $size[\overline{e}]=n-size[e]$ 。

要求出 $s i z e [e]$ 和 $size[\overline{e}]$ ，可以用一个 $d f s$ 来解决（ $\overline{e}$ 可以用一个小技巧：e^1）

上代码：

void dfs(int u,int e)
{
    size[e]=1;
    for(int i=0;i<(int)G[u].size();i++)
        if(G[u][i]!=(e^1))
        {
            int v=edges[G[u][i]].v;
            dfs1(v,G[u][i]);
            add(u,G[u][i]);
            size[e]+=size[G[u][i]];
        }
    size[e^1]=n-size[e];
}

这样，就可以了：把每个节点的各个子节点的 $s i z e$ 值扫描一遍，有 $size[v]≥\frac{n}{2}(v\in son[u])$ 就说明 $u$ 不是树的中心。

2.说了半天，回到原问题（还有啊！ $q w q$ ！）

做好迎接挑战的准备吧！

我们要把一条边删去，并连上另一条新边，也就是说，要把一个子树切割下来，在把他连到新的节点上。
我们可以计算一个 $c [e]$ （ $e$ 的定义同 $s i z e [e]$ ），表示以 $t a i l [e]$ 为根的子树中最多可以割下多少个节点，可知 $\le \frac{n}{2}$ 。
可以在原来的 $d f s$ 的基础上再加一个 $d f s$ （并用一个数据结构来辅助实现）:

void add(int u,int i)
{
    if(best[u]<=c[i])
    {
        sec[u]=best[u];
        best[u]=c[i];
        idx[u]=i;
    }
    else sec[u]=max(sec[u],c[i]);
}
int query(int u,int i)
{
    if(i!=idx[u]) return best[u];
    else return sec[u];
}
void dfs1(int u,int e)
{
    size[e]=1;
    c[e]=0;
    for(int i=0;i<(int)G[u].size();i++)
        if(G[u][i]!=(e^1))
        {
            int v=edges[G[u][i]].v;
            dfs1(v,G[u][i]);
            add(u,G[u][i]);
            size[e]+=size[G[u][i]];
            c[e]=max(c[e],c[G[u][i]]);
        }
    size[e^1]=n-size[e];
    if(size[e]<=n/2) c[e]=size[e];
}
void dfs2(int u,int e)
{
    add(u,e^1);
    for(int i=0;i<(int)G[u].size();i++)
        if(G[u][i]!=(e^1))
        {
            if(size[G[u][i]^1]<=n/2) c[G[u][i]^1]=size[G[u][i]^1];
            else c[G[u][i]^1]=query(u,G[u][i]);
            dfs2(edges[G[u][i]].v,G[u][i]);
        }
}

3.于是我们就大功告成了

献上我丑陋的代码：

#include<iostream>
#include<vector> 
using namespace std;
const int maxn=800005;
struct Edge
{
    int u,v;
    Edge(int x,int y): u(x),v(y){}
};
int n,size[maxn],c[maxn],best[maxn],sec[maxn],idx[maxn];
vector<Edge> edges;
vector<int> G[maxn];
void add(int u,int i)
{
    if(best[u]<=c[i])
    {
        sec[u]=best[u];
        best[u]=c[i];
        idx[u]=i;
    }
    else sec[u]=max(sec[u],c[i]);
}
int query(int u,int i)
{
    if(i!=idx[u]) return best[u];
    else return sec[u];
}
void dfs1(int u,int e)
{
    size[e]=1;
    c[e]=0;
    for(int i=0;i<(int)G[u].size();i++)
        if(G[u][i]!=(e^1))
        {
            int v=edges[G[u][i]].v;
            dfs1(v,G[u][i]);
            add(u,G[u][i]);
            size[e]+=size[G[u][i]];
            c[e]=max(c[e],c[G[u][i]]);
        }
    size[e^1]=n-size[e];
    if(size[e]<=n/2) c[e]=size[e];
}
void dfs2(int u,int e)
{
    add(u,e^1);
    for(int i=0;i<(int)G[u].size();i++)
        if(G[u][i]!=(e^1))
        {
            if(size[G[u][i]^1]<=n/2) c[G[u][i]^1]=size[G[u][i]^1];
            else c[G[u][i]^1]=query(u,G[u][i]);
            dfs2(edges[G[u][i]].v,G[u][i]);
        }
}
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int u,v;
        cin>>u>>v;
        edges.push_back(Edge(u,v));
        edges.push_back(Edge(v,u));
        G[u].push_back(edges.size()-2);
        G[v].push_back(edges.size()-1);
    }
    dfs1(1,edges.size());
    dfs2(1,edges.size());
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        bool ok=true;
        for(int j=0;j<(int)G[i].size();j++)
            if(size[G[i][j]]-c[G[i][j]]>n/2)
            {
                ok=false;
                break;
            }
        cout<<ok<<' ';
    }
    return 0;
}