#莫比乌斯反演#BZOJ 4407 洛谷 4449 于神之怒加强版

最新推荐文章于 2020-01-21 11:56:11 发布

lemondinosaur

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本文探讨了求解特定数学问题的高效算法，即求解双层求和∑i=1n∑j=1mgcd(i,j)^h mod 1000000007的计算方法。通过分析与转换，将原始问题转化为更易于处理的形式，并使用预处理技术，将时间复杂度降低至O(N+Tsqrt(n))。文章提供了详细的数学推导过程及C++实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目

求 $∑i=1n∑j=1mgcd(i,j)h(mod1000000007)\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mgcd(i,j)^h\pmod {1000000007}$

–

分析

$=∑d=1ndh∑i=1n∑j=1m[gcd(i,j)==1]=\sum_{d=1}^nd^h\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[gcd(i,j)==1]$
然后就是 $∑d=1ndh∑i=1⌊nd⌋∑j=1⌊md⌋∑k∣i,k∣jμ(k)\sum_{d=1}^nd^h\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}\sum_{k|i,k|j}\mu(k)$
$∑d=1ndh∑k=1⌊nd⌋μ(k)⌊nkd⌋⌊mkd⌋\sum_{d=1}^nd^h\sum_{k=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\mu(k)\lfloor\frac{n}{kd}\rfloor\lfloor\frac{m}{kd}\rfloor$
枚举 $i = k d$ 得到
$∑i=1n⌊ni⌋⌊mi⌋∑d∣idhμ(id)\sum_{i=1}^n\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\lfloor\frac{m}{i}\rfloor\sum_{d|i}d^h\mu(\frac{i}{d})$
预处理后面的部分，时间复杂度 $O (N + T s q r t (n))$

代码

#include <cstdio>
#include <cctype>
#define rr register
using namespace std;
const int N=5000001,mod=1000000007;
int dp[N],prime[N],cnt,T,k; bool v[N];
inline signed iut(){
	rr int ans=0; rr char c=getchar();
	while (!isdigit(c)) c=getchar();
	while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();
	return ans;
}
inline void print(int ans){
	if (ans>9) print(ans/10);
	putchar(ans%10+48);
}
inline signed min(int a,int b){return a<b?a:b;}
inline signed ksm(int x,int y){
	rr int ans=1;
	for (;y;y>>=1,x=1ll*x*x%mod)
	    if (y&1) ans=1ll*ans*x%mod;
	return ans;
}
inline signed mo(int x,int y){return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
inline void init(){
	dp[1]=1;
	for (rr int i=2;i<N;++i){
		if (!v[i]) prime[++cnt]=i,dp[i]=mo(ksm(i,k)-1,mod);
		for (rr int j=1;prime[j]*i<N&&j<=cnt;++j){
			v[i*prime[j]]=1;
			if (i%prime[j]==0){
				dp[i*prime[j]]=1ll*dp[i]*(dp[prime[j]]+1)%mod;
				break;
			}
			dp[i*prime[j]]=1ll*dp[i]*dp[prime[j]]%mod;
		}
	}
	for (rr int i=2;i<N;++i) dp[i]=mo(dp[i],dp[i-1]);
}
signed main(){
	T=iut(); k=iut(); init();
	while (T--){
		rr int n=iut(),m=iut(),t=n<m?n:m,ans=0;
		for (rr int l=1,r;l<=t;l=r+1){
			r=min(n/(n/l),m/(m/l));
			ans=mo(ans,1ll*(dp[r]-dp[l-1]+mod)*(n/l)%mod*(m/l)%mod);
		}
		print(ans),putchar(10);
	}
	return 0;
}