#莫比乌斯反演，整除分块#洛谷 3455 ZAP-Queries

题目

给定$n,m$，求$1\le x\le n$,$1\le y\le m$满足$gcd(x,y)=d$的$(x,y)$个数

---

分析

设$$f(d)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m[gcd(i,j)=d]$$
$$F(d)=\lfloor \frac{n}{d}\rfloor \lfloor \frac{m}{d}\rfloor$$
根据莫比乌斯反演
$$答案=\sum _{d|n}\mu (\frac{n}{d})F(\frac{n}{d})$$
然后枚举$\frac{n}{d}$可以发现可以用整除分块解决，then

---

代码

    #include <cstdio>
    #include <vector>
    #define rr register
    #define N 50001
    using namespace std;
    int sum[N],v[N],mobius[N];
    inline int in(){
    	rr int ans=0; rr char c=getchar();
    	while (c<48||c>57) c=getchar();
    	while (c>47&&c<58) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+c-48,c=getchar();
    	return ans;
    }
    void print(int ans){
    	if (ans>9) print(ans/10);
    	putchar(ans%10+48);
    }
    void prepare(int n){
    	mobius[1]=1; vector<int>prime;
    	for (rr int i=2;i<=n;++i){
    		if (!v[i]) v[i]=i,mobius[i]=-1,prime.push_back(i);
    		for (rr int j=0;j<prime.size();++j){
    			if (prime[j]>v[i]||prime[j]>n/i) break;
    			v[i*prime[j]]=prime[j];
    			if (i%prime[j]==0) break;
    			mobius[i*prime[j]]=-mobius[i];
    		}
    	}
    	for (rr int i=1;i<=n;i++) sum[i]=sum[i-1]+mobius[i];//线性筛求莫比乌斯前缀和
    }
    int main(){
    	rr int t=in(); prepare(N-1);
    	while (t--){
    		rr int n=in(),m=in(),d=in();
    		if (n>m) n^=m,m^=n,n^=m;
    		rr long long ans=0;
    		for (rr int l=1,r;l<=n;l=r+1){//整除分块
    			r=min(n/(n/l),m/(m/l));
    			ans+=(n/l/d)*(m/l/d)*(sum[r]-sum[l-1]);//计算答案前缀和
    		}
    		print(ans); putchar(10);
    	}
    	return 0;
    }