于神之怒加强版P4449 BZOJ4407

最新推荐文章于 2022-07-15 11:56:19 发布

SCLchuck

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分类专栏：莫比乌斯文章标签： ACM 莫比乌斯反演于神之怒加强版数论 P4449

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通过这道题，我才知道积性函数可以通过线性筛来筛。

题目就是就是一道莫比乌斯模板题的加强

原来那倒题是ΣΣgcd(i, j) 现在变成了 ΣΣ(gcd(i，j)^k % mod)

令x = gcd(i, j) f(x) = x ^ k;

原式: ΣΣf(x)

令 f = g (卷积) 1

则g = f (卷积) u

推出 $g(x) = \sum_{d | x}{f(d) * u(d / x)}$

--------------------------------------------------------------------------------

以前我是通过暴力枚举 d 然后再枚举 x = d * i 来先求出g(x)

不过这道题直接TLE （nlogn * 快速幂）

--------------------------------------------------------------------------------

于是线性筛

因为积性函数设 m ， n 互质则 g（mn） = g（m） * g（n）

对于 m n 不互质的现在来解决：

对于任何 x $g(x) = \prod_{i = 1}^{t}{g(p_i ^ {x_i})}$ （把x分解质因子）

推出 $g(p_i ^ {x_i}) = \sum_{i = 1}^{x_i}{(p_i ^ {i})^k * u(p^{x_i - {i}})}$ => $g(p_i ^ {x_i}) = (p_i ^ {x_i})^k * u(1) + (p_i^{x_i - 1})^k * u(pi)$

得出 $g(p_i^{x_i}) = (p_i^{x_i}) ^ k - (p_i^{x_i - 1}) ^ k$

那么 $g(p_i ^ {x_i + 1}) = (p_i^{x_i + 1}) ^ k - (p_i^{x_i}) ^k$

那么 $g(p_i ^ {x_i + 1}) = g(p_i ^ {x_i}) * pi ^ k$

对于在线性筛中会有 $g(N * p_i ^ {x_i+1}) != g(N * p_i ^ {x_i}) * g(p_i)$ 而 $g(p_i) = p_i ^ k - 1$ 故 $g(N * p_i ^ {x_i+1}) == g(N * p_i ^ {x_i}) * (g(p_i) + 1)$

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn = 5000000;
const int mod = 1000000000 + 7;

LL gxx[maxn + 5];
int pri[maxn + 5];
int miu[maxn + 5];
bool vis[maxn + 5];
int max_id;
int T, K;
bool chk1 = 0;
bool chk2 = 1;
bool chk3 = 1;

LL GetPw(LL n, LL k)
{
    LL res = 1;
    while(k)
    {
        if(k & 1) res *= n, res %= mod;
        n *= n;
        k >>= 1;
        n %= mod;
    }
    return res;
}

void GetMuGx()
{
    miu[1] = 1;
    vis[1] = 1;
    gxx[1] = 1;

    for(int ii = 2;ii <= maxn;ii++)
    {
        if(!vis[ii])
        {
            miu[ii] = -1;
            gxx[ii] = -1 + GetPw(ii, K);
            pri[++max_id] = ii;
        }

        for(int i = 1;i <= max_id;i++)
        {
            int xx = pri[i] * ii;

            if(xx > maxn) break;
            vis[xx] = 1;

            if(ii % pri[i] == 0)
            {
                miu[xx] = 0;
                gxx[xx] = gxx[ii] * (gxx[pri[i]] + 1) % mod;
                break;
            }
            else
            {
                miu[xx] = -miu[ii];
                gxx[xx] = gxx[ii] * gxx[pri[i]] % mod;
            }
        }
    }

    for(int i = 1;i <= maxn;i++) gxx[i] += gxx[i - 1], gxx[i] %= mod;
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &T, &K);
    GetMuGx();
    if(chk1) printf("test pw: %d\n", (int)GetPw(2, 5000000));
    if(chk1) for(int i = 4999900;i <= 4999910;i++) printf("gxx[%d] = %lld\n", i, gxx[i]);

    while(T--)
    {
        LL res = 0;
        int m, n, mm;

        scanf("%d%d", &m, &n);
        mm = min(m, n);
        for(int ii = 1, last;ii <= mm;ii = last + 1)
        {
            last = min(n / (n / ii), m / (m / ii));
            res += ((gxx[last] - gxx[ii - 1]) % mod) * (((LL)n / ii) * ((LL)m / ii) % mod) % mod;
            res %= mod;
        }
        res = (res + mod) % mod;
        printf("%lld\n", res);
    }
    return 0;
}