#斜率优化，单调队列，动态规划#洛谷 4072 JZOJ 4475 征途

最新推荐文章于 2021-10-29 01:26:19 发布

原创最新推荐文章于 2021-10-29 01:26:19 发布 · 355 阅读

1 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#洛谷 4072 #JZOJ 4475 #征途

单调队列、斜率优化专栏收录该内容

30 篇文章

订阅专栏

本文探讨了将一个序列划分为多个子序列以使方差最小的问题，通过数学推导和斜率优化技术，详细解释了如何使用单调队列来维护上凸壳，从而实现最优的序列划分。

题目

把一个长度为 $n$ 的序列分成 $m$ 份，使它的方差最小

分析

首先要剖析方差公式，设 $sum[m]=∑i=1ma[i]sum[m]=\sum_{i=1}^ma[i]$
$S2m2=m∑i=1m(a[i]−ave)2S^2m^2=m\sum_{i=1}^m(a[i]-ave)^2$
那么
$S2m2=m∑i=1m(a[i])2−2sum[n]∑i=1ma[i]+(sum[n])2S^2m^2=m\sum_{i=1}^{m}(a[i])^2-2sum[n]\sum_{i=1}^ma[i]+(sum[n])^2$
实际上 $∑i=1na[i]=sum[n]\sum_{i=1}^{n}a[i]=sum[n]$ ,所以
$S2m2=m∑i=1m(a[i])2−(sum[n])2S^2m^2=m\sum_{i=1}^{m}(a[i])^2-(sum[n])^2$
然后移项得到
$S2m2+(sum[n])2=m∑i=1m(a[i])2S^2m^2+(sum[n])^2=m\sum_{i=1}^{m}(a[i])^2$
那么终于到正题了，也就是说把 $n$ 个数分成 $m$ 份，使平方和最小
所以说就是斜率优化，设 $f [n], g [n]$ 分别表示该份和上一份的状态，那么
$f[i]=g[q[head]]+(sum[i]-sum[q[head]])^2$
揭开之后发现它维护的是上凸壳，然后用单调队列维护即可

代码

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#define rr register
#define p(x) ((x)*(x))
#define t(x) (g[x]+p(sum[x]))
using namespace std;
int n,m,q[3001]; long long f[3001],g[3001],sum[3001];
inline signed iut(){
    rr int ans=0; rr char c=getchar();
    while (!isdigit(c)) c=getchar();
    while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();
    return ans;
}
inline double slope(int i,int j){return (t(j)-t(i))*1.0/(sum[j]-sum[i]);}
signed main(){
    n=iut(); m=iut();
    for (rr int i=1;i<=n;++i) sum[i]=sum[i-1]+iut(),g[i]=p(sum[i]);
    for (rr int j=1;j<m;++j){
        rr int head=1,tail=1; q[1]=j;
        for (rr int i=j+1;i<=n;++i){
            while (head<tail&&slope(q[head],q[head+1])<2*sum[i]) ++head;
            f[i]=g[q[head]]+p(sum[i]-sum[q[head]]);
            while (head<tail&&slope(q[tail-1],q[tail])>slope(q[tail],i)) --tail;
            q[++tail]=i;
        }
        memcpy(g,f,sizeof(f));
    }
    printf("%lld",f[n]*m-p(sum[n]));
    return 0;
}