洛谷P2312 秦九韶算法求多项式点值

最新推荐文章于 2022-11-21 22:26:51 发布

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#算法

这篇博客介绍了如何使用秦九韶算法优化多项式求解的过程，以解决在给定区间内求解方程的问题。文章讨论了算法的时间复杂度优化，并在模数下计算以处理大数值，同时提供了C++代码实现。

题意：

给出序列 $a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}]$ ，求出下列方程在区间 $[1, m]$ 的解
$\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}=0$

Solution：

显然只需要枚举解，然后检查解是否符合条件即可，但直接多项式求值常数太大，朴素的求值需要 $n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2}$ 次乘法和 $n$ 次加法。秦九韶算法可以优化至 $n$ 次乘法， $n$ 次加法
$a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}=0$
左式有 $x$ 的部分提出 $x$
$a_{0}+x(a_{1}+...+a_{n}x^{n-1})=0$
括号内的重复这个步骤，一直到
$a_{0}+x(a_{1}+x(a_{2}+(....+x(a_{n}))))$
从内到外求即可

原题 $a_{i}<10^{10000}$ ，并且检查解的时候多项式值会很大，不妨在模数下计算这个值，这样在读入 $a_{i}$ 时就可以快读取模。模数多可以提高正确性，但常数会变大，代码选用了 $10^{9}+7$ 和 $10^9+9$ 两个模数

// #include<bits/stdc++.h>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<bitset>
#include<map>
using namespace std;

using ll=long long;
const int N=105,inf=0x3fffffff;
const long long INF=0x3fffffffffffffff,mod1=1e9+7,mod2=1e9+9;

int n,m;
ll a1[N],a2[N];

bool check(int x)
{
    ll ret1=0,ret2=0;
    for(int i=n;i>=1;i--)
    {
        ret1=(a1[i]+ret1)%mod1*x%mod1;
        ret2=(a2[i]+ret2)%mod2*x%mod2;
    }
    ret1=(ret1+a1[0])%mod1;
    ret2=(ret2+a2[0])%mod2;
    return ret1==0&&ret2==0;
}

pair<ll,ll> read()
{
    ll ret1=0,ret2=0,flag=1;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))
    {
        if(ch=='-') flag=0;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))
    {
        ret1=(ret1*10+ch-48)%mod1;
        ret2=(ret2*10+ch-48)%mod2;
        ch=getchar();
    }
    return flag?make_pair(ret1,ret2):make_pair(-ret1,-ret2);
}

int main()
{
    #ifdef stdjudge
        freopen("in.txt","r",stdin);
    #endif
    vector<int>ans;
    n=read().first; m=read().first;
    for(int i=0;i<=n;i++)
    {
        auto tmp=read();
        a1[i]=tmp.first;
        a2[i]=tmp.second;
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
        if(check(i)) ans.push_back(i);
    cout<<ans.size()<<'\n';
    for(int i:ans) printf("%d\n",i);
    return 0;
}