洛谷P2312 解方程

这篇博客介绍了如何利用秦九韶算法解决洛谷P2312题目的多项式方程,在[1, m]范围内寻找整数解。讨论了不同数据范围的限制,并提供了算法思路,但未给出完整代码。" 112828436,10535487,matplotlib绘制二维数组问题解析,"['Python', '数据可视化', 'matplotlib', '数组绘图']

题目描述

已知多项式方程:

a0+a1x+a2x2+⋯+anxn=0a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n=0a0+a1x+a2x2++anxn=0

求这个方程在 [1,m][1,m][1,m] 内的整数解(nnnmmm 均为正整数)。

输入输出格式

输入格式:

输入共 n+2n + 2n+2 行。

第一行包含 222 个整数 n,mn, mn,m ,每两个整数之间用一个空格隔开。

接下来的 n+1n+1n+1 行每行包含一个整数,依次为 a0,a1,a2…ana_0,a_1,a_2\ldots a_na0,a1,a2an

输出格式:

第一行输出方程在 [1,m][1,m][1,m] 内的整数解的个数。

接下来每行一个整数,按照从小到大的顺序依次输出方程在 [1,m][1,m][1,m] 内的一个整数解。

输入输出样例

输入样例#1: 复制
2 10 
1
-2
1
输出样例#1: 复制
1
1
输入样例#2: 复制
2 10
2
-3
1
输出样例#2: 复制
2
1
2
输入样例#3: 复制
2 10
1
3
2
输出样例#3: 复制
0

说明

对于 30%30\%30% 的数据:0<n≤2,∣ai∣≤100,an≠0,m<1000<n\le 2,|a_i|\le 100,a_n≠0,m<1000<n2,ai100,an0,m<100

对于 50%50\%50% 的数据:0<n≤100,∣ai∣≤10100,an≠0,m<1000<n\le 100,|a_i|\le 10^{100},a_n≠0,m<1000<n100,ai10100,an0,m<100

对于 70%70\%70% 的数据:0<n≤100,∣ai∣≤1010000,an≠0,m<1040<n\le 100,|a_i|\le 10^{10000},a_n≠0,m<10^40<n100,ai1010000,an0,m<104

对于 100%100\%100% 的数据:0<n≤100,∣ai∣≤1010000,an≠0,m<1060<n\le 100,|a_i|\le 10^{10000},a_n≠0,m<10^60<n100,ai1010000,an0,m<106


臭不要脸的偷了luogu的题面qwq \color{yellow}\text{臭不要脸的偷了luogu的题面qwq} 臭不要脸的偷了luogu的题面qwq


首先,我们想一个暴力
看样子 a i a_i ai<=100的还比较好拿 废 话 ! \color{yellow}废话! !


然后呢?剩下的呢?
好像当 a i a_i ai全都是>0的数的时候,肯定无解是一种,
但是有几分呢?


这里就用到了一个神奇的东西叫做秦九韶算法
不过其实这玩意自己随便搞搞就行了
已知f(x)
f ( x ) = a 0 + a 1 ∗ x + a 2 ∗ x 2 + a 3 ∗ x 3 + a 4 ∗ x 4 + a 5 ∗ x 5 + … … + a n ∗ x n f(x) = a_0 + a_1*x + a_2*x^2+a_3*x^3+a_4*x^4+a_5*x^5+……+a_n*x^n f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5++anxn
方便起见,我们不妨先让n==5
比如这张图

比较好理解啊~~
稍微解释一下就是:
这里我们就用n==5来举栗子
f ( x ) = a 0 + a 1 ∗ x + a 2 ∗ x 2 + a 3 ∗ x 3 + a 4 ∗ x 4 + a 5 ∗ x 5 f(x) = a_0 + a_1*x + a_2*x^2 + a_3*x^3 + a_4*x^4+a_5*x^5 f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5
= a 0 + ( a 1 + a 2 ∗ x + a 3 ∗ x 2 + a 4 ∗ x 3 + a 5 ∗ x 4 ) ∗ x =a_0+(a_1+a_2*x+a_3*x^2+a_4*x^3+a_5*x^4)*x =a0+(a1+a2x+a3x2+a4x3+a5x4)x
= a 0 + ( a 1 + ( a 2 + a 3 ∗ x + a 4 ∗ x 2 + a 5 ∗ x 3 ) ∗ x ) ∗ x =a_0+(a_1+(a_2+a_3*x+a_4*x^2+a_5*x^3)*x)*x =a0+(a1+(a2+a3x+a4x2+a5x3)x)x
= a 0 + ( a 1 + ( a 2 + ( a 3 + a 4 ∗ x + a 5 ∗ x 2 ) ∗ x ) ∗ x ) ∗ x ) ∗ x =a_0+(a_1+(a_2+(a_3+a_4*x+a_5*x^2)*x)*x)*x)*x =a0+(a1+(a2+(a3+a4x+a5x2)x)x)x)x
= a 0 + ( a 1 + ( a 2 + ( a 3 + ( a 4 + a 5 ∗ x ) ∗ x ) ∗ x ) ∗ x ) ∗ x =a_0+(a_1+(a_2+(a_3+(a_4+a_5*x)*x)*x)*x)*x =a0+(a1+(a2+(a3+(a4+a5x)x)x)x)x

return 0 ;

各项式求和的代码实现就是

for(int i = n ; i >= 1 ; i --) {
	sum += (sum+a[i])*x ;
}
sum += a[0] ;

代 码 是 现 敲 的 , 不 知 道 对 不 对 \color{yellow}代码是现敲的,不知道对不对 ,



```#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#define maxn 1100
#define mod 1000000007
#define int long long 
using namespace std ;
int read () {
	int x = 0 , f = 1 ; char s = getchar() ;
	while(s > '9' || s < '0') {if(s == '-') f = -1 ; s = getchar() ;}
	while(s <='9' && s >='0') {x = (x * 10 + (s-'0'))%mod; s = getchar() ;}
	return x*f ;
}
int n , m , ans , cnt[maxn] , tot ,a[maxn] ;
int check(int x) {
	int sum = 0 ;
	for(int i = n ; i >= 1 ; i --) {
		sum = (sum*x + a[i]*x)%mod ;
	}
	sum = (sum+a[0])%mod ;
	if(sum == 0) return 1 ;
	else return 0 ;
}
signed main () {
	n = read() , m = read() ;
	for(int i = 0 ; i <= n ; i ++) {
		a[i] = read() ;
	}
	for(int i = 1 ; i <= m ; i ++) {
		if(check(i)) {
			tot ++ ;
			cnt[tot] = i ;
		}
	}
	printf("%d\n",tot) ;
	for(int i = 1 ; i <= tot ; i ++) {
		printf("%d\n",cnt[i]) ;
	}
	return 0 ;
}
### 关于 P1609 的题目解析 目前并未提供具体的引用内容来描述 P1609 的相关信息。然而,基于常见的编程竞赛题型以及类似的动态规划或贪心算法问题,可以推测该题目可能涉及某种优化策略。 #### 假设的解法思路 如果假设 P1609 是一道关于资源分配或者路径寻找的问题,则可以通过以下方法解决: 1. **动态规划** 动态规划是一种常用的解决问题的方法,在许多情况下能够有效地找到最优解。例如,对于某些最大化收益或最小化成本的问题,定义状态转移方程是非常重要的[^3]。 ```cpp // 示例代码框架(假设为背包问题) #include <iostream> #include <vector> using namespace std; const int MAX_N = 1e3 + 5; int dp[MAX_N]; int main(){ int N, W; cin >> N >> W; vector<int> weight(N), value(N); for(int i=0;i<N;i++) cin>>weight[i]; for(int i=0;i<N;i++) cin>>value[i]; for(int i=0;i<N;i++){ for(int j=W;j>=weight[i];j--){ dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]); } } cout<<dp[W]<<endl; return 0; } ``` 2. **贪心算法** 如果问题是关于局部最优解的选择,那么贪心算法可能是更高效的方式。通过每次选择当前最佳选项逐步构建全局最优解[^4]。 ```cpp // 贪心算法示例代码(假设为区间覆盖问题) #include <bits/stdc++.h> using namespace std; struct Interval{ int start,end; }; bool cmp(const Interval& a,const Interval& b){ return a.end<b.end; } int main(){ int n; cin>>n; vector<Interval> intervals(n); for(auto &i:intervals) cin>>i.start>>i.end; sort(intervals.begin(),intervals.end(),cmp); int count=0,last=-1; for(auto &i:intervals){ if(last<i.start){ last=i.end; count++; } } cout<<count<<endl; return 0; } ``` #### 总结 虽然具体到 P1609 的细节尚未给出,但从上述分析可以看出,无论是动态规划还是贪心算法都可以作为通用解决方案的一部分。实际应用时需根据题目条件调整参数设置和逻辑流程。
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