21、浮点LLL算法：理论与实践

浮点LLL算法：理论与实践

1. 背景定义与基础概念

1.1 浮点运算

浮点运算是计算机模拟实数的常用方法。常见的浮点类型是二进制双精度浮点数（简称双精度），其在IEEE - 754标准中有正式定义。
- 双精度浮点数的组成 ：一个双精度浮点数由53位尾数 $m$、1位符号位 $s$ 和11位指数 $e$ 组成。其中，尾数 $m$ 可解释为集合 ${1, 1 + 2^{-52}, 1 + 2\times2^{-52}, \cdots, 2 - 2^{-52}}$ 中的一个数，指数 $e$ 解释为区间 $[-1022, 1023]$ 内的整数，所表示的实数为 $(-1)^s\times m\times 2^e$。
- 舍入规则 ：对于实数 $x$，$\Pi(x)$ 定义为最接近 $x$ 的双精度浮点数，若有两个可能值，则选择尾数为偶数的那个。这里仅使用四舍五入到最接近值的模式。
- 运算规则 ：若 $op \in {+, -, \times, \div}$，对于双精度数 $a$ 和 $b$，$(a\ op\ b)$ 的结果是对实数 $(a\ op\ b)$ 进行舍入后的双精度数，即 $\Pi(a\ op\ b)$；$\sqrt{a}$ 的结果是 $\Pi(\sqrt{a})$。

双精度浮点数具有广泛可用、规范化、效率高（通常在处理器级别实现）等优点，但也存在指数范围有限（仅11位）和精度有限（仅53位）的局限性。为解决指数限制问题，可将一个整数（通常32位整数即可）与每个双精度数组合，以扩展指数。例如，数对 $(x, e)$（$x$ 为