20、格基规约算法的进展与浮点LLL算法解析

格基规约算法的进展与浮点LLL算法解析

1. SLLLC算法概述

SLLLC算法在格基规约领域有着独特的优势。它不迭代全局过程TriSeg，而是采用更快的局部过程。对于基 (b_1, \cdots, b_n \in \mathbb{Z}^m)（其中 (n = 2^s)），若满足特定不等式，则称其为关于 (\delta) 的SLLLC - 基（或SLLLC - 约化基）。具体而言，对于 (\lambda = 0, \cdots, s = \log_2 n) 和奇数 (l \in [1, n/2])，有 (D_{l,2^{\lambda}} \leq (\alpha / \delta)^{4^{\lambda}} D_{l + 1,2^{\lambda}}) 。与其他定义不同的是，该不等式对偶数 (l) 不做要求，这为SLLLC - 约化带来了新的效率提升。

这些不等式在对偶性下保持不变，即若 (b_1, \cdots, b_n) 是SLLLC - 基，那么其对偶基 (b_1^ , \cdots, b_n^ ) 也是SLLLC - 基。此外，定理表明SLLLC - 基的第一个向量相对于 ((\det L)^{\frac{2}{n}}) 的长度与LLL - 基的情况相近。

2. SLLLC算法的相关定理

• 定理14 ：对于SLLLC - 基 (b_1, \cdots, b_n)（其中 (n) 是2的幂），有 ( |b_1| \leq (\alpha / \delta)^{\frac{n - 1}{4}} (\det L)^{\frac{1}{n}}) 和 ( |q_n| \geq (\del