19、网络结构的平衡统计力学

网络结构的平衡统计力学

1 随机化方法生成图集合

可通过随机化方法生成图集合，同时保持图的度序列不变，主要有以下两种随机化方式：
- 边随机化 ：
1. 随机选择图的两条边，例如边 1 - 2 和 3 - 4。
2. 随机选择每条边的一个端点，如顶点 1 和 3 的端点。
3. 交换这两条边所选的端点。
- 顶点随机化 ：
1. 随机选择两个顶点，如顶点 5 和 6。
2. 随机选择每个顶点的一条边。
3. 交换所选顶点处这些边的端点。

下面用 mermaid 流程图展示边随机化过程：

graph LR
    A[开始] --> B[随机选两条边]
    B --> C[随机选边的端点]
    C --> D[交换端点]
    D --> E[结束]

2 图能量的示例

2.1 基于顶点度的能量

可将能量分别分配给每个顶点，公式为：
[E = \sum_{i=1}^{N} f(k_i)]
若边的数量恒定，(f) 的线性部分无关紧要，因为其贡献与图中的边数成正比，并且在巨正则系综的情况下只是对化学势进行重新归一化。在无限温度极限下，任何 (f) 都会产生经典随机图集合。

若 (f) 比线性下降得更快，如二次下降：
[E = -\sum_{i=1}^{N} k_i^2]
在低温下，典型图的顶点度