10、机器人运动学中的高级表示法

机器人运动学中的高级表示法

在机器人运动学领域，准确描述刚体的运动状态是至关重要的。本文将深入探讨刚体运动中的角速度与四元数变化率、点的线速度、螺旋坐标以及线加速度和角加速度等关键概念。

1. 角速度与四元数变化率

四元数在描述刚体旋转时具有独特的优势，但它与刚体角速度之间的关系并非一目了然。四元数虽然利用了与螺旋向量相关的参数，但并未直接包含旋转向量的物理概念。这是由其定义中的特定安排所导致的。

设四元数的时间导数为四维数组 $\dot{\epsilon} = [\dot{\epsilon}_1, \dot{\epsilon}_2, \dot{\epsilon}_3, \dot{\epsilon}_4]^T$，刚体的角速度向量 $\Omega$ 与四元数分量导数之间的关系可以通过四元数代数得到：
$\Omega = 2\epsilon^{\dagger} \odot \dot{\epsilon}$ (3.41)
其中，$\Omega = [\Omega_x, \Omega_y, \Omega_z, 0]^T$ 是用齐次坐标表示的角速度向量，符号 $\odot$ 表示四元数乘法。

对于两个四元数 $a = \begin{bmatrix} \mathbf{a} \ a \end{bmatrix}$ 和 $b = \begin{bmatrix} \mathbf{b} \ b \end{bmatrix}$，它们的乘积定义为：
$a \odot b = \begin{bmatrix} a\mathbf{I} + \mathbf{a}^{\times} & \mathbf{a} \ -\mathbf{a}^T & a \en