6、刚体运动描述：位置、方向与欧拉角

刚体运动描述：位置、方向与欧拉角

1. 点的位置表示

在三维空间中，点的位置可以通过相对于坐标系的向量来表示。假设存在一个坐标系 {A}，点 P 相对于该坐标系的位置可以用一个包含三个分量的向量来表示，这三个分量分别沿着三个正交轴（x, y, z）。

如果这个向量是相对于固定坐标系表示的，那么它代表点 P 的绝对位置；如果是相对于移动坐标系指定的，则描述了该点的相对位置。为了表示点 P 相对于坐标系 {A} 的位置向量，我们使用符号 $^AP$，读作“相对于 A 的向量 P”。其数学表示如下：
$^AP = \begin{bmatrix} P_x \ P_y \ P_z \end{bmatrix} = [P_x, P_y, P_z]^T$

同样，点 P 相对于另一个坐标系 {B} 的位置向量可以表示为 $^BP$。使用向量表示点在空间中的位置的主要优点是可以利用向量代数的性质，这些向量构成了一个向量空间，其中可以使用向量加法、标量乘法、向量乘法、线性性和平移不变性等性质。

2. 刚体的方向表示

刚体的方向定义与位置定义有本质区别。空间中物体上的每个点都有其独特的位置向量，而刚体的方向对于其所有点都是一致的，因此方向是对整个物体的一种表示。

在表示刚体上点的位置时，可以使用附着在物体上的可移动笛卡尔坐标系。在定义刚体的方向时，我们同样会利用这个坐标系相对于参考框架的旋转量。与位置可以用空间中具有三个分量的向量轻松定义不同，描述刚体方向存在多种表示方法。

2.1 旋转矩阵

旋转矩阵是表示刚体方向最常用的方法之一。为了更好地理解这种表示方法，假设刚体只进行旋转运动，没有