5、运动学中的旋转矩阵与欧拉角详解

运动学中的旋转矩阵与欧拉角详解

1. 刚体的位置与方向描述

在描述刚体的位置和方向时，我们先从位置开始。设向量 $\mathbf{o}’ \in \mathbb{R}^3$，其在参考坐标系 $O - xyz$ 各轴上的分量分别为 $o’_x$、$o’_y$、$o’_z$，那么刚体上一点 $O’$ 的位置可以紧凑地表示为一个 $(3 \times 1)$ 的向量：
[
\mathbf{o}’ =
\begin{bmatrix}
o’_x \
o’_y \
o’_z
\end{bmatrix}
]
这里的向量 $\mathbf{o}’$ 是一个有向向量，因为它的作用线、作用点、方向和模长都是确定的。

为了描述刚体的方向，我们引入一个附着在刚体上的正交坐标系 $O’ - x’y’z’$，其各轴的单位向量 $\mathbf{x}’$、$\mathbf{y}’$、$\mathbf{z}’$ 相对于参考坐标系 $O - xyz$ 可以表示为：
[
\begin{cases}
\mathbf{x}’ = x’_x\mathbf{x} + x’_y\mathbf{y} + x’_z\mathbf{z} \
\mathbf{y}’ = y’_x\mathbf{x} + y’_y\mathbf{y} + y’_z\mathbf{z} \
\mathbf{z}’ = z’_x\mathbf{x} + z’_y\mathbf{y} + z’_z\mathbf{z}
\end{cases}
]
其中，每个单位向量的分量就是坐标系 $O’ - x’y’z’$