7、刚体运动描述与齐次变换：原理、应用与计算

刚体运动描述与齐次变换：原理、应用与计算

1. 刚体旋转与欧拉角

刚体的旋转可以通过特定的几何运动来描述。例如，如图所示的刚体旋转，可由两次旋转构成：先绕移动的 w 轴旋转 180 度，再绕移动的 u 轴旋转 90 度。由此，{w - u - w} 欧拉角可确定为：α = π ; β = π/2 ; γ = 0，这些角度也可从逆问题的解（方程 2.37）中得出。

需要注意的是，尽管可以用不同的欧拉角来描述刚体的旋转，但对应的旋转矩阵是唯一的。而且，逆问题的解不唯一，至少有两组对应的角度来表示旋转。在万向节锁的情况下，逆问题方程退化，代表刚体旋转的欧拉角有无数个解，此时无法确定三个方向上独立的欧拉角。因此，在机器人手臂运动分析中使用欧拉角时，必须特别注意避免万向节锁。

为解决这个问题，通常采用运动连续性约束来防止潜在解之间的突然转换。此外，为避免用欧拉角表示旋转时出现万向节锁，在表示旋转运动时会同时使用两组欧拉角。当第一组表示遇到万向节锁情况时，可使用第二组来描述运动。尽管欧拉角在表示三维空间中物体的运动时被广泛使用，但人们更倾向于使用旋转矩阵作为非奇异的表示基础。

1.1 欧拉角计算示例

欧拉角	值
α	π
β	π/2
γ	0