2016 计蒜之道复赛 A

最新推荐文章于 2024-07-05 19:36:04 发布

squee_spoon

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分类专栏：图论文章标签：图论分治

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/squee_spoon/article/details/51818316

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本文介绍了一种针对Floyd算法的优化方案，利用分治思想避免重复计算，将复杂度从O(n^4)降低至O(n^3log(n))。通过递归方式处理中间节点，仅更新受影响的路径，有效减少了计算量。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

　　这场比赛对我来说最有价值就是这题。。读完题肯定会有一个朴素的想法，枚举不能使用的 $k$ 跑 $n$ 次floyd，也就是 $O(n^4)$ 的复杂度，无法通过。实际上，在跑那么多次floyd的时候，有很多操作是不必要的。所以可以分治来做，每次 $k$ 只能取一半的值，剩下的递归处理，递归到 $k$ 只有一个值没取，这样就避免了重复操作，优化到了 $O(n^3log(n))$ 。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define ll long long

const int maxn = 305;

int g[20][maxn][maxn];
ll ans = 0;

int n;

void floyd(int l,int r,int dep){
    if(l==r){
        return;
    } 

    if(l+1 == r){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=n;j++){
                if(i==l || j==l){
                    continue;
                }
                ans += g[dep][i][j];
            }
        }
        return;
    }
    int mid = (l+r)>>1;

    //relex mid+1 r
    memcpy(g[dep+1],g[dep],sizeof(g[dep]));
    for(int k=mid;k<r;k++){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=n;j++){
                if(g[dep+1][i][k] == -1 || g[dep+1][k][j]==-1){
                    continue;
                }

                if(g[dep+1][i][j] == -1){
                    g[dep+1][i][j] = g[dep+1][i][k]+g[dep+1][k][j];
                }
                g[dep+1][i][j] = min(g[dep+1][i][j],g[dep+1][i][k]+g[dep+1][k][j]);
            }
        }
    }
    floyd(l,mid,dep+1);

    //relex l mid-1
    memcpy(g[dep+1],g[dep],sizeof(g[dep]));
    for(int k=l;k<=mid-1;k++){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=n;j++){
                if(g[dep+1][i][k] == -1 || g[dep+1][k][j]==-1){
                    continue;
                }

                if(g[dep+1][i][j] == -1){
                    g[dep+1][i][j] = g[dep+1][i][k]+g[dep+1][k][j];
                }
                g[dep+1][i][j] = min(g[dep+1][i][j],g[dep+1][i][k]+g[dep+1][k][j]);
            }
        }
    }
    floyd(mid,r,dep+1);
}

int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            scanf("%d",&g[0][i][j]);
        }
    }
    floyd(1,n+1,0);

    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}